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社会選択における極大要素

極大要素の存在: 美人ホールを求めて」では個人選択理論,つまり個人の最大化問題をあつかった.そこでは選好 P が任意の有限集合上で極大要素をもつための必要十分条件は P が非循環的 (サイクルをもたない) であることをしめした.今回は社会選択理論,つまり (「つまり」というとかなり乱暴だが) 「集団の最大化問題」をあつかう.本質的なアイディアはこうだ: 個人の選好のかわりに「社会の選好」なるものを考えて,あとはそれを個人選択理論に当てはめるだけ.(「社会の選好」を考えること自体がむずかしいのではないかという疑問はあるだろう.それが簡単には決められないというのは,たしかに社会選択理論の基本だ.しかしここでは「社会の選好」なる言葉をかなり弱い意味で使っているので心配ない.)

任意の選択肢の集合 X を考える.ただし X は最低 3 つの要素を持つとする (有限でなくてもいい).任意の個人の集合を N と書く (N は有限でなくてもいい).それぞれの個人 i は選好 Pi を持っている.個人レベルで最大化問題が解けないようでは集団レベルではますます解けるみこみがなくなるので,個人の選好 Pi は非循環的だと仮定する.(つまり,任意の選択肢 x1, x2, ..., xk について,もし x1Pix2, x2Pix3, ..., xk-1Pixk ならば,not xkPix1 となると仮定する.) 全員の選好のデータをまとめたもの (だれがどの選好をもつかを記述したリスト (Pi)i∈N) を《選好プロファイル》ということがある.

では「社会の選好」とはなにか? まず注意を与えれば,じつはそういう言葉で呼ばれることはあまりない.すぐサイクルを持ったりするため,「選好」と呼ぶにはあまりに振る舞いがダメなのだ.ただ選択肢 x が選択肢 y より社会の「多数」に好まれているとき「x は y を支配する」という言い方はするので,ここでは《社会選好》とか《支配関係》とかいう言葉を使うことにする.大雑把に言えば「社会の選好」とは「多数派」の選好である.もちろん「多数派」の意味を明確にしなければならないが,その意味はかなり自由に決められる.以下で《提携》S とは単に個人の集合のことである (つまり S は N の部分集合; 引用した記事では S は選択肢の集合だったため紛らわしくなっている,ごめん).

  • たとえば全体の個人の数が奇数人ならば通常の過半数あれば「多数派」と言えるだろう.たとえばぜんぶで 9 人いるならば,過半数とは 5 人以上のことである.ぜんぶで 3 人,つまり N={1, 2, 3} ならば,過半数とは 2 人以上であり,過半数の提携のあつまりは {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} ということになる.
  • 過半数のかわりに「全体の 3 分の 2 以上」などとすることもできる.憲法改正の手続きなどを思い浮かべるといいだろう.
  • 極端なものだと,ある特定の個人がふくまれる提携すべてを「多数派」と考えることもできる.たとえば N={1, 2, 3} のとき,個人 1 をふくむ提携からなるあつまり {{1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3}} は《独裁ルール》を定義する.

一般的には,任意の提携のあつまり ω をもって《シンプル・ゲーム》(simple game) あるいは《単純ゲーム》と呼び,ω に属する提携を「多数派」とみなすことにする.(ただし空集合は ω にふくまれないと仮定.) 提携 S がωの要素であるとき (つまり S∈ω),S は《勝利提携》(winning coalition) と呼ばれる.

「多数派が選択肢 x を選択肢 y より好む」「社会が x を y より選好する」「x は y を支配する」というのは,けっきょく x を y より好む個人が多数いることであり,正式には以下が満たされることだ: ある勝利提携 S∈ω が存在して,すべての i∈S について xPiy となる.つまり x を y より好むひとびとの全員あるいは一部が「多数派」となっていることだ.この条件がみたされたときに xPy と書くことにしよう. すると P こそが《支配関係》あるいは《社会選好》である.

あとは個人選択理論と同じだ.A をアジェンダ (任意の有限非空な選択肢集合) としよう.社会選好 P についての A の極大要素の集合 {x∈A: yPx となるような選択肢 y∈A は存在しない} (A のなかで他の選択肢に支配されないような選択肢の集合) を考えればいい.つまり A の要素 x が極大要素であるとは,A の要素 y をどう選んだところで,y を x よりも好ようなひとびとが多数を形成することはないことである.A=X のとき,極大要素の集合は《コア》(core) と呼ばれる.つまりコアとは,社会にとっての「ベスト」な選択肢の集合と考えられる.

一般均衡理論や協力ゲーム理論で「コア」の概念を勉強したひとも多いだろう.そのため混乱するひとは,悩むのはやめてとりあえずこの記事の「コア」はべつものと考えてくれていい.

極大要素の存在: 美人ホールを求めて」で,選好 P が任意の有限集合上で極大要素をもつための必要十分条件は P が非循環的 (サイクルをもたない) であるという定理をしめした.その定理を適用すると,社会選好 P が非循環的であることが社会としての「ベスト」な選択肢の存在のための必要十分条件であることがわかる.これが結論だ!

では,社会選好 P は非循環的になるのだろうか? それはばあいによる.選好プロファイル次第だ.

  • たとえば全員が同じ (非循環的な) 選好を持っていれば社会選好も同じになるはずだ.よって極大要素は存在する.
  • 社会選好がサイクルをもつ例は「投票のパラドックス」として知られている (そのような選好プロファイルの例を挙げるのは演習問題).このときは極大要素は存在しない.

投票ルール (ここではシンプルゲーム) はひとびとの選好が明らかになる前に設計しておくべきというのが建前だろう.ひとびとの選好によって極大要素が存在したりしなかったりということでは「安定性」の面から不満が残る.では,つねに極大要素が存在するような条件はあるのか? それに答えた「中村の定理」については,いずれ別記事で解説したい.

ところで個人の集合が無限のときはどうするか? 「提携」とは個人の集合であって,しかもその集合がうまく記述できるような (あるいは観察できるような,あるいは認識できるような,あるいは意味あるような) ものだと考えられる.N の任意の部分集合 S を提携とみなすことも可能だがあまり標準的ではない.

たとえば,N における S の「確率」がじゅうぶん大きいときに S を「多数」とみなそうとしても,そもそも「確率」が定義できないかもしれない.じっさい無限標本空間での確率論では,うまく確率を定義できるような集合 (事象) を制限している.通常は事象はσ集合体 (σ-algebra) を形成していると仮定され,たとえば任意の事象の補集合も事象になること,任意の加算個の事象の和集合も事象になることが要求される.しかし無限個の事象の和集合が事象になることを要求するのは,それが解釈上自然であるからではない.主として数学的なあつかいの良さのために要求されている.有限個の事象の和集合が事象になるという要求ならばより自然だろう.

可能ならば「《提携》は《ブール代数》を形成する」とだけ仮定するのが望ましい.どういうことかといえば,N 自体が提携であること,任意の提携 S の補集合 Scが提携になること,任意の提携 S, S' の和集合 S∪S' と積集合 S∩S' が提携になることを要求するのだ.つまりある提携が記述できるならば,そのメンバーでない個人からなる提携も記述できることなどを要求する.この結果,有限個の提携の和集合や積集合はやはり提携になる (2 個のばあいを繰り返し適用できる) 一方で,無限個の提携の和集合や積集合は必ずしも提携になるわけではない.

また,選好プロファイルにも条件を課すことになる.たとえば「x より y を好むような個人の集合」というのは記述できることを要請するのが自然だろう.したがって,任意の選択肢 x, y について,x より y を好むような個人の集合が提携になることを要求するのがいい.

後記.厳密さはほとんど犠牲にしていないけど,その分くどくなってしまった.

学期がはじまった.夏休みにやり残した仕事を終わらせねばと思うこのごろ.先日は庵治の海に行ったあと,屋島のトイザらスでの赤外線コントロールの「Q Steer(キューステア)」(タカラトミー製の「チョロQ」というミニカー) を買って来た.9月30日発売との情報をネット新聞で知り,電池込みで1000円弱という値段に感動したためだ.ミニカーを集める趣味はない.そういう趣味がありそうな同僚に見せたら,ひとりは (そういう趣味はない模様だったが) 値段には感動,鉄道オタクであるもうひとりは「興味ある」と言って,リモコンで操作していた.一二週間するとキャンパス内でチョロQを競わせている大学教員たちの姿が見られるで……いや,それはなかろう.

【2006/10/08 15:22 】
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