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功利主義,そして IIA の謎
答えを先に言えば,序数的効用でも功利主義は成り立つ.

ことの発端は,ある数理社会学/規範理論の専門家が
「序数的効用でも功利主義は成り立つという主張をたまにみかけるが、何を意味しているのか理解できない。ある社会的選択が序数的効用に基づくということは、諸個人の効用関数に異なる単調増加変換を施しても、社会的選択の順序が不変でなければいけない。功利主義がこれを満たさないのは自明だろう。」
つぶやいたことだった.

3 つだけ RSS 講読している twitter のひとつで見つけたのだけど,その後この議論でほんの小さなサークルが盛り上がって,やたらと専門的で尖鋭的な議論に発展していったようだ.ちょっとだけ twitter アカウントが欲しくなった平凡助教授だ.笑

で,最初の疑問だが,その主張が何を意味してるかはコンテクストを見ないと分からない.単に功利主義批判だったら,序数的効用に限定しても同じ批判が成立することは多い.たとえば「功利主義は効用のみを評価基準にしているから,個人の置かれた多用な状況を十分に考慮できない」といったありがちな議論なら,効用を序数的なものに制限した場合ますます利用できる情報が少なくなるため,この批判は当てはまる.(ここらあたりの議論を精密にしたければ,「帰結主義」「厚生主義」といった用語を導入して,似たような評価方法を峻別して行くことになる.)

コンテクストが分からないので,ここでは「序数的効用にもとづく功利主義」とは,
「個人の選好 (もちろん序数的) を集計することによって,社会状態 (選択肢) を評価する (順序付けする) アプローチ」
といった意味と考えておく.するとまず思いつくのは個人選好を集計して社会選好を得ることの困難さを指摘した「アローの不可能性定理」だ.そういう集計を行う関数 (社会厚生関数) には,アローの挙げた少数の条件をすべて満たすものがないことを主張した定理だ.

ところがアローの定理で社会厚生関数にたいする条件のひとつ IIA (無関係選択対象からの独立性) を外せば,残りの条件を満たすルールはいろいろある.たとえばボルダルール (各人の選好でもっとも好まれる選択肢を m-1 点,次を m-2 点,…,最後を 0 点とし,各選択肢についてそれらの得点を合計して比較する方法) がそうだ.ただし具体的な投票を想定しているのであれば,そのようなルールにもとづく選択は耐戦略性をみたさない (戦略的操作可能である; つまり自分の選好を偽って報告した方がましな結果を得られることがある) という問題がある.

しかし「功利主義」といったばあい,耐戦略性は問題にはならない.なぜなら功利主義云々を議論する場合,そこでは社会状態の評価を行う社会厚生関数の話をしているわけであって,その関数は具体的な投票ルールとは異なるからだ.社会厚生関数とはあくまでも関数であり,それは「個人の選好がこういうふうに決まれば社会選好がああいうふうに決まる」という対応関係を指しているに過ぎない.「どうやってその選好を表明してもらうのか?」とか,「どうやってその関数を計算するか?」といったことはその関数を具体的なルール (メカニズムデザインにおけるゲームフォーム) と見なしてはじめて問題になってくるだけであり,社会厚生関数をあくまでも観念的なものとみなしてよいコンテクストでは,耐戦略性や計算可能性は無視すべきである.

これで答えは出た.序数的効用でも功利主義は成り立つ.それを主張するひとは,「ボルダルールでやりゃいいじゃん」と言えばいい.いや,ボルダルール以外にもいろいろ使える関数はあるので,お好みの関数を拾ってきて,
序数的効用での功利主義とは関数○○によって社会状態を比較するアプローチである
定義してしまえばよい.めでたし,めでたし.

さて,功利主義については,学生に教えるときに気をつけるべきことがある.効用のなにが個人間で比較可能かについて,いい加減な説明をしてしまいがちなことだ.せめて次の例題に出てくるような点にかんしては,ごまかさない方がいい.(ボク自身はこんな出題をしたことはないけどね.)

例題.以下の文章の [ア] から [キ] にいれるべき用語を以下から選べ: 基数的,序数的,ベンサム,ロールズ,功利主義,maximin 原理,増減,絶対レベル.

「現代経済学では,効用の値が単なる大小関係を越えた意味を持つ[ア]効用を想定するアプローチは (不確実性を考慮するとき以外は) 主流とは言えない.しかしそのアプローチを採用すれば,個人の選好の強度を考慮したり,効用を個人間で比較することが可能になる.たとえば社会状態の良し悪しを個人の効用の合計によってはかる[イ]流の[ウ]は,Harsanyi (1955) によって正当化されている.[ウ]では,効用の[エ]を個人間で比較できることが想定されている.一方,社会状態の良し悪しをもっとも効用の低い個人の効用によってはかる[オ]流の[カ]は,Hammond (1976) によって正当化されている.[カ] では効用の[キ]を個人間で比較できることが想定されている.」

さて,IIA の謎を書くのが面倒になってきたので,あとは列挙で済ませる.ここではあくまでもアローの定理における IIA に限定しているが,それでもいろいろと謎がある.
  • 基数的効用を排除しているのがなぜか IIA のせいにされる.Nitzan (2010) など.
  • MWG (Mas-Colell, Whinston, and Green, 1995, Chapter 21, page 794) が IIA (Pairwise Independence) の意義を3つ挙げているのは偉い.特に戦略的操作との関連が示唆されているのはよい.しかし,その後はその関連がまったくといっていいほど説明されていない.特に Chapter 23 では IIA は出て来ないのでは?
  • Wikipedia の IIA の項目を見ると,「もし機会集合 {a, b} で a が b より好まれるならば,機会集合 {a, b, x} で,b が a より好まれることがあってはならない」とある.もともとの IIA は機会集合ひとつとプロファイルふたつにかんする条件だが,ここでは機会集合ふたつとプロファイルひとつにかんする条件に見える.しかもアロー自身のミスリーディングな「候補者死亡の例」 (Arrow, 1963, page 26) とは逆に,ここでは機会集合は縮小ではなくて拡大している.この条件はいったいどの文献に載っているんだろうか?

(社会選択などを専門とする HRM からの寄稿)

追記 1 (10/24/2010). コメント 3, 4 にかかわるが,なんと Roemer (1996, pages 17-18, 20) は「序数効用論に基づくロールズ主義」をやっている.maximin 原理を「個人間比較可能な序数的効用」(co-ordinal utility) というやつで説明している.功利主義だけでなく maximin 原理も序数的効用でできるのだ! 詳しくはリンク先を参照.(追記.ただし追記2の「序数的効用」の定義は満たさない.Moulin (1988, Chapter 2) にも関連する議論がある.)

追記 2 (10/24/2010). コメントにもかかわるので,ボクの意味する「序数的効用」の意味を定義しておく.これが載っている文献とかミスとかあったら指摘してください.眠れないため起きてきて書いているという状態だから.

Let F be a social welfare functional, that is, a function that maps each profile u=(u_1, ..., u_n) of utility functions into a social preference.  F is ordinal if for any two profiles u and u',
whenever for all i and for all x, y,
u_i(x) ≥ u_i(y) iff u'_i(x) ≥ u'_i(y), 
we have F(u)=F(u').

Conjecture.  Let p(u) be the preference profile defined from u.  That is, 
x p_i(u) y iff u_i(x) ≥ u_i(y).
Then, a social welfare functional F is ordinal if and only if there exists a social welfare function f such that
F(u) = f(p(u)) for all u.
【2010/10/20 04:39 】
| 社会科学 | コメント(10) | トラックバック(0) |
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コメント
この記事は twitter 上の先端的な議論の方の「まとめ」じゃなくて,大学院生ていど向けだけど,先端的議論をやっていたひとも見てくれたみたいだ.
http://twitter.com/tksh_hysh/statuses/27870001958

ボクは林さんのこのコメントはよく分からないが,たしか Saari がボルダルールについて経済学者に意見を聞いたときも,序数的と基数的で半々に分かれたらしいから,たぶん定義によるのだろう.

ボクがボルダルールを序数的と見なすのはべつに深い理由はなくて,選択肢集合と選好が決まれば結果が決まるからだ.ふつうの基数的ルールだとこうはいかない.効用の値で結果がちがってくる.
【2010/10/20 11:18】
| URL | 平凡助教授 #4TQqPKZU[ 編集] |
ボルダルールが序数的であることの証明は簡単だ.好きなテキストを開いてボルダルールがどこに載っているか見てみよう.そう,基数効用の章ではないはずである.証明終わり.笑

冗談はさておき,ボルダルールが基数的か序数的かをはっきり指摘したテキストはほとんど見かけない.このルールに詳しい Saari のテキストとか,わざわざ効用関数でアローの議論を始めている John Roemer のとかちょっと見たけど見つからなかった.佐伯の39ページに
「一見すると…「効用和」の最大なものから順に順序づけているように思える」
とあるくらい.序数的と言いたいのが見え見えではあるが,はっきり序数的とは言っていない.

しかし基数的だという根拠がよく分からん.「ある特定の個人の効用を千倍にしてみよう.その途端に結果が変わるので,このルールは基数的な効用を入力しているということになる」という議論じゃないだろうけど.だれかの効用を千倍したらボルダルールじゃなくなってしまうからなあ!
【2010/10/20 16:15】
| URL | 平凡助教授 #4TQqPKZU[ 編集] |
この記事の続きの議論だと思うが,「「序数効用論に基づくロールズ主義」も可能になってしまうなあ」との指摘を見つけた.さすがオースティン林さん,鋭いし,おもしろい!
http://twitter.com/tksh_hysh/status/27932268124

たしかにテクニカルには「序数効用にもとづくロールズ主義」が実現している.ただ,「効用レベル」そのものを比較するのがロールズ主義の肝.ある選択肢の「効用レベル」が選好におけるその選択肢のポジション (その選択肢未満に好まれる選択肢の数) で固定されていて,自由に表現できないボルダルールは,ロールズ主義とはたぶん親和的じゃない.実現はできるが本来のロールズ主義(というか maximin 原理)をかなり曲解することになる.ボルダルール以外の集計ルールでも基本的には同じ.

ただし,集計ルールにかんして合意が成立している場合は,「序数効用にもとづくロールズ主義」が実現しているという議論をけっこうまともに展開できるかもしれない.倫理学者の領域かも.

一方,功利主義だと効用の増減が肝.その増減を選択肢何個分で計るボルダルールは功利主義と親和的か? 「形式的には」上記と同様の議論により,ボルダルールでは本来の功利主義を曲解していると主張することはできる.ただし功利主義はけっこう間口が広くて,「本来の功利主義」ってのがあるのかどうかも分からない.いろんな立場を許すはずだ.

ボク自身は定義域が選好ならばなんでも「序数的」だとする立場だが,「それはもう意味のある区分けではないと思う」という指摘もあった.定義域が選好の持つ情報しか使えない場合,効用を単調関数で変換しても結果が左右されることはない.この不変性こそ意味のある区分けじゃないかなあ.
【2010/10/23 17:02】
| URL | 平凡助教授 #4TQqPKZU[ 編集] |
>功利主義はけっこう間口が広く

ロールズ主義にしても maximin 原理に単純化されてしまった段階ですでにかなり曲解されている.それ以上は「もう勝手にやってくれ」という感じでボルダルールによるロールズ主義を消極的に認めてくれるかも.

いや,ロールズ主義の流派によっては,むしろ積極的にボルダルールによるロールズ主義に意義を認めるかも.基数的効用につきものの基礎付けの弱さを避けることのできる概念として評価できるかもしれない.
【2010/10/23 21:27】
| URL | 平凡助教授 #-[ 編集] |
こんにちは。効用の個人間比較に興味を抱いている一人として、(今更ながら)大変興味深く拝読させていただきました。
効用関数の基数性を「効用の変化が(何らかの意味で)測定可能であること」と解釈するのであれば、効用関数の基数性・序数性は以下のように区分されるものではないかと考えています。
(スパム判定のため英語で書いたものを日本語に直しました)

Uを許容されうる効用関数の集合とする。効用関数の情報構造とは、U上に定義される同値関係Iのことをいう。任意の u,u’∈Uについて、u I u'は、 u とu'とが情報的に同値であるとみなされていることを意味する。

「効用変化の尺度」とは、以下の(1),(2)をみたす g:R×R→Rである。
(1) if u1<u1’ then g(u1,u2)>g(u1’,u2).
(2) if u2<u2’ then g(u1,u2)<g(u1,u2').

以下に効用変化の尺度を例示する。
Ex 1. (Difference) g(u1, u2)=u2-u1.

Ex 2. (Ratio) g(u1,u2)=u2/u1

Ex 3. (Difference of transformed utility) g(u1,u2)=φ(u2)-φ(u1), where φ is an increasing function.

情報構造Iの下で効用関数uが基数的であるとは、ある効用変化の尺度gが存在して、下記の条件をみたすことをいう。
for each u,u’∈U, if u I u’, then
g(u(x),u(y))>g(u(z),u(w)) ⇔ g(u’(x),u’(y))>g(u’(z),u’(w)).

情報構造Iの下で効用関数uが基数的でないとき、効用関数uは序数的であるという。
【2018/05/20 00:20】
| URL | Yamamura #-[ 編集] |
おはようございます,山邑さん.どうもお疲れ様.難解なコメントで面食らいました.笑

理解できているかどうか分からないけど,コメント返しておきます:

Ex 2 では u1, u2 に符号の制限が必要そう.

「効用の変化が(何らかの意味で)測定可能であること」の解釈だとこうなるというのはよく分からん.
「効用の変化が比較可能であること」の解釈ならなんとなくわかる. xyDzw を「x から y への効用変化量 g(u(x),u(y)) は z から w への効用変化量 g(u(z),u(w)) 以上である」と解釈し,この関係 D を表現する効用関数 u をぜんぶ同一視するということかしらん.

「序数的効用関数」には既に確立した定義があるので,基数的でないものをそれと定義するというやり方は個人的には好みではない.あと,基数的効用も序数的だし.意図としては「序数的効用関数」というより「非基数的効用関数」を定義しようとしているのはわかる.たぶんこの記事は確立した「序数的効用」の意味を守り抜こうというのがポイントで,「基数的効用」とは何かはそんなに重要ではなさそう.

参考論文挙げておきます.僕が教わった人々の超難解な論文だけど,イントロは山邑さんのコメントより易しいかも.欲しかったらメールください.
Fuhrken, G. & Richter, M.K. Econ Theory (1991) 1: 83. https://doi.org/10.1007/BF01210575

HRM
【2018/05/20 07:19】
| URL | 平凡助教授 #-[ 編集] |
「情報構造Iの下で効用関数uが基数的である」の定義がなかなか頭に入ってこなかった理由に気づきました.定義の中に
for each u
というのが入ってたんですね.あと,
uIu' iff u(x)=u'(x) for all x
と関数の同一性にしても条件なりたちそう.このままではまずいので,条件をやや修正して,「情報構造Iが基数ベースである」なんて概念を定義したらいいかも.というか, I を使わない方が分かりやすそう.D^g という4項関係を定義し,"u represents D^g" を定義し,u represents D^g and u' represents D^g for some g ならば uIu' とやるとか.
【2018/05/20 11:12】
| URL | 平凡助教授 #brBYsVtQ[ 編集] |
平凡助教授先生、マニアックなコメントにお付き合いいただきありがとうございます。
就寝前に何ともなしに「効用の個人間比較」でgoogle検索したところ、この記事に辿りつきまして、昨晩寝られなくなってしまいました(笑)

「効用の変化」を実数値関数で捉えるのではなく、R×R上の二項関係と捉える方が確かに一般的ですし、僕もベターだと思いました。
(u1,u2)D(u3,u4)で「u1からu2への効用変化の大きさは、u3からu4への効用変化の大きさ以上である」という意味づけを与えられそうです。

Ex 2は、おっしゃる通り、効用値が正であることが必要でした。

>xyDzw を「x から y への効用変化量 g(u(x),u(y)) は z から w への効用変化量 g(u(z),u(w)) 以上である」と解釈し,この関係 D を表現する効用関数 u をぜんぶ同一視するということかしらん.

この箇所につきましては、おそらく逆に、
u'がuと同一視されるならば、
(u(x),u(y))D(u(z),u(w))⇔(u'(x),u'(y))D(u'(z),u'(w))
である(ものの、この逆が成立するとは限らない)
ということではないかと思います。

たとえば、
u I u' ⇔ u'=au +b (a>0)
u I' I' ⇔ u' = au (a>0)
とします。
IとI'とでは異なる情報構造であるものの、いずれの情報構造の下でも「効用差」で定義される二項関係Dについて、上記の関係が成立します。

たしかに、基数的か序数的かの二区分ではなく、「非基数的だけれども序数的とは言えない」効用というのが考えられそうです。
何とはなしで「序数的」とか「基数的」と言っていましたが、平凡助教授先生のご指摘で少し整理して考えられるようになりました。ありがとうございます。

Additive Utilityのペーパー、今日中にでも研究室でダウンロードしてみます!
【2018/05/20 14:13】
| URL | Yamamura #WV4V227M[ 編集] |
> 平凡助教授先生、マニアックなコメントにお付き合いいただきありがとうございます。

「平凡助教授先生」ねえ.笑
万一関連論文書いたときは HRM に acknowledge してもらえたらうれしいです.

> 「効用の変化」を実数値関数で捉えるのではなく、R×R上の二項関係と捉える方が確かに一般的ですし、僕もベターだと思いました。

自分の意図としては D は選択肢集合X上の4項関係でした.表現したいものは選択肢同士の関係なので.実数にかかわる事柄は効用関数 u に任せたわけです.まあ,どちらでもいいのかもしれません.

>IとI'とでは異なる情報構造であるものの、いずれの情報構造の下でも「効用差」で定義される二項関係Dについて、上記の関係が成立します。

u I u' ⇔ u'=u としても同様.「だからどうアプローチすべきか?」という問題.

> たしかに、基数的か序数的かの二区分ではなく、「非基数的だけれども序数的とは言えない」効用というのが考えられそうです。

意図としては「効用は定義により序数的.そのなかに非基数的ものもある」でした.

以上がヒントになるかもしれません.僕の頭の中で整理されているわけじゃありませんけどね.
【2018/05/20 15:14】
| URL | 平凡助教授 #-[ 編集] |
コメント、そしてヒントをありがとうございます。

「選択肢集合X上の4項関係」Dによって「選択肢同士の関係」の表現する、というアイデアや、
「効用は定義により序数的.そのなかに非基数的ものもある」
という捉え方をできていなかったことに、今更ながら気が付きました。

論文になるような話に繋がるかどうかはわかりませんが、今後もし関連論文ができた際には、必ずacknowledgeさせていただきます。
【2018/05/20 17:48】
| URL | Yamamura #WV4V227M[ 編集] |
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