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ナッシュ遂行では顕示原理は成り立たない

この記事は,ある問題にかんするある研究者との理解の不一致に端を発した覚え書きである.目的はボクの理解するところを伝達すること.用語の説明はかなり省略する.対象読者はメカニズム・デザインに触れたことがあるひと.まずは簡単に用語を復習しておく:

  • 社会選択対応とは選好列 (選好プロファイル) にアウトカム集合を対応させる対応.
  • メカニズム (ゲームフォーム) とはメッセージ (アクション) 列にアウトカムを対応させる関数.
  • 直接メカニズムとは各人のメッセージが自分のタイプ (選好) であるようなメカニズム.社会選択関数 (一価である社会選択対応) のこと.[追記.本稿の結果はこの定義に決定的に依存する.最後の「追記」を参照.]
  • 「メカニズムが社会選択対応を遂行する」とは,つねにそのメカニズムによる均衡アウトカム集合がその社会選択対応で選ばれるアウトカム集合と一致すること.
  • 「直接メカニズムが社会選択対応を正直遂行する」とは,つねに自分のタイプ (選好) を正直に申告する戦略列がそのメカニズムの均衡になり,かつ均衡アウトカムが社会選択対応で選ばれるアウトカム集合にふくまれること.(正直戦略以外の均衡アウトカムが社会選択アウトカムになっているかどうかは関係ない.)

顕示原理とは「ある均衡概念のもとで,あるメカニズムがある社会選択対応を遂行するとき, (その社会選択対応の selection である) ある直接メカニズムがその社会選択対応を正直遂行する」という命題である.この原理は均衡概念が支配戦略均衡あるいはベイジアン・ナッシュ均衡のもとで成り立つことが知られている.

ではナッシュ均衡のもとでは顕示原理は成り立つか? テキストなどではなぜかあまり触れられない疑問だが,ボクは成り立たないと思っている.しかし成り立つと信じているひとは意外に多いかもしれない.ここではどうしてそういう誤解が生じたのか (ベイジアン・ナッシュ均衡は完備情報化ではナッシュ均衡になるから?) は気にせずに,成り立たない理由を説明してみる.間違っていたら教えて.

ボク自身が成り立たないと思ったきっかけは,自分が証明に行き詰まったからだ (笑).たとえばベイジアン・ナッシュ均衡による遂行にかんする顕示原理の証明 (e.g., MWG, Prop 23.D.1) を辿ってナッシュ均衡による遂行の場合を証明しようとすると行き詰まる.その原因は以下の違いに起因する:

  • (ベイジアン・ナッシュ均衡を通常考える) 不完備情報での戦略とは,自分のタイプからアクションへの関数である (各自 i は自分のタイプθiのみ知ってアクション sii) を選ぶ)
  • (ナッシュ均衡を通常考る) 完備情報での戦略とは,タイプのプロファイルからアクションへの関数である (各自 i は全員のタイプθを知ってアクション si(θ) を選ぶ; MWG Chapter 23, Appendix B 参照)

より具体的に言えば,証明の最後近くで詰まるはず.g(si(θ'), s-i(θ)) のような形が出て来てきれいに分離できない.(もとの証明では g(si(θ'i), s-i-i)) となるところ.) つまり "Tell me your type" の部分で自分以外のタイプも申告してしまうわけだ.

もちろんボクが証明できないというだけではある命題が偽であることにはならない (←当然だよなあ).したがって反例を挙げることにする.(じつは反例を考えた記憶がない.指摘してくれた方に感謝.) これで「成り立つ派」も納得では?: 間接メカニズムである Walker メカニズムは Lindahl ルールをナッシュ遂行する.しかし Lindahl ルールにおいては正直に選好を申告することはナッシュ均衡にならない.したがってナッシュ遂行では顕示原理は成り立たない.納得してもらえたかな?

おまけ 1. 「正直遂行」が「遂行」の特殊ケースになっていないことに注意すれば,一般には顕示原理の逆は成立しないことが分かる.つまり「ある直接メカニズムがある社会選択対応を正直遂行するとき,あるメカニズムがその社会選択対応を遂行する」という (字面からは当然そうな) 主張は成り立たない.ところがこれが成り立つという誤解は少なくないようで,しばしば不適切な場面で「分析を直接メカニズムに限定してよい」という記述が見られる.(MWGや契約理論のテキストではメカニズムの均衡アウトカムのなかに社会選択対応で選ばれるものが入っていることをもって「遂行」としていることが多い.この場合,顕示原理の逆は当然成り立つので,分析を直接メカニズムに限定するのは問題はない.問題なのは「遂行」の意味が本文でしめしたものと同じであるにもかかわらず顕示原理の逆が成立すると想定してしまう場合である.)

おまけ 2. 実はまだゆっくり見てないのだが,Behavioral Mechanism Design Bibliography Database というサイトが便利らしい.

おまけ 3. メカニズムデザインにかんする入門記事としては,「ソロモン王のジレンマはセカンドプライス・オークションで解決できるじゃないか!」をすすめるが,専門用語を避けているためこの記事の理解のためには不十分である.この記事の理解のためには,三原麗珠の「メカニズム・デザイン: レクチャー・ノート」レベルの知識は欲しいところ.

追記 (10/24/2009). Osborne and Rubinstein (1994) によればナッシュ遂行では顕示原理は成り立つという! 「平凡助教授まちがってるじゃん!」って?---そうではなさそうだ.どうしてこういう違いが起きたかと言えば,彼らの正直遂行の定義 (Definition 179.2) では,ここでいう直接メカニズムに当たるゲームフォームで人々は (自分のタイプに代わって) 全員のタイプを申告することになっているためである.どうやら顕示原理も定義の微妙な違いによって成立したりしなかったりするようだ!

(HRM からの寄稿)

【2009/10/23 22:43 】
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