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非循環性なしの社会選択理論が出現!

「それってすごいことなの?」って? 経済理論を教える大学教授にでも聞いてくれ.

ここでは最初に「社会選択のコアにかんするクイズ」の正解例を与えよう.問題 1, 2 の正解はいずれも「否」であり,反例は以下のとおり.個人 i が x を y より好む (xPiy) ことは,点 x から点 y へ向かう矢印を描いてその枝にラベル i をつけることで表している.

Graphviz ソースファイルはこちら.点の配置や枝の形状などを気にし始めると,Graphviz は簡単ではないことが分かった.問題 2 の図では,点の場所を pos で強制的に指定することで対応.

問題 1 の正解例

コアに属する選択肢がどの個人の極大要素にもならないことがある.たとえば以下の図でコアは集合 {d, e} だが,d は各人の極大要素集合のユニオン {a, b, c, e} に属さない.だれにとっても極大でないものが解の中に紛れているのだ!

問題1の反例

問題 2 の正解例

空でないにもかかわらず,コアが個人の極大要素をあつめてきた集合と交わらないことがある.たとえば以下の図でコアは集合 {d} だが,各人の極大要素集合のユニオン {a, b, c} と交わらない.だれかにとって極大になるようなものが解のなかにひとつも存在しないのだ!

問題2の反例

以上の例は Kumabe and Mihara (2008) の Examples 1 と 2 そのものである.要するにコアというのは,各人の極大要素集合と相性があんまりよくないのだ! 「相性が悪い」と言ってしまってもいいかもしれない.

ところでコアの概念をまちがって理解すると,上のいずれの図においても,あやまって選択肢 d をコアから除外してしまうことになる.つまり「d 以外の選択肢をより好む個人が過半数 (この場合は2人以上である全員) いるので,d はコアには入らない」と考えてしまうのだ.選択肢 d がコアから除外されるためには,本当は過半数が一致して他のある選択肢 x を d より好まなければならないのだが,「別の選択肢を一致してより好む」という条件を見落とすわけだ.

この誤解にもとづいてコアを再定義し,"the core without majority dissatisfaction" (多数不満なきコア?) と名付けたのが Kumabe and Mihara (2008) である.おそらく著者のひとりである経済理論家が共著者の数学者に「コア」をいい加減に説明した際に,数学者のほうが誤解し,それに気づいた経済理論家が「おもしろいからその誤解を定義にすればいいじゃん!」と応じたのであろう.「失敗を成功につなげた」ささやかな例である.(事実無根です.そういうドラマは著者たちのあいだでは展開されなかったそうです.)

そして注目すべきは,この core without majority dissatisfaction というのはもともとのコアとちがい,問題 1, 2 の性質をいずれも満たすことだ! つまり core without majority dissatisfaction は各人の極大要素集合とトテモ相性がいいのである.詳しくはそのペーパーの Section 3 を参照してもらおう.

ところで Kumabe and Mihara (2008) だが,以上説明した内容がその主要貢献ではない.その主要貢献は,社会選択理論で長らく「最小限の要件」とされて来た「選好の非循環性」を取り払ったことにある.「非循環性なしの選好集計理論」というタイトルがしめすとおりだ.(非循環性がほとんど欠かせない条件であることについては,「極大要素の存在: 美人ホールを求めて」を参照.どうでもいいが,現状のタイトルはぎこちないんじゃ?---"without" を二度使うか?) 具体的には中村の定理を拡張する結果を提示している. (中村の定理については「コアにかんする中村の定理」を参照.)

「最小限」とされてきた要件を取り除くという画期的なことをする以上,これまで受け入れられて来た常識からどこかで離れる必要はあったはずだ.じっさい Kumabe and Mihara (2008) の集計理論は,社会選択理論の根底にあるシナリオの書き換えを迫っている.イントロダクションが長くなっているのは,そのシナリオの転換についてやや「哲学的な」議論を展開しているためである.

「哲学とか言うなよ.自分は技巧派だ」という理論家は,この論文を「集合論でいうところの順序数の理論を経済学に応用したもの」として読むだけでも悪くないだろう.順序数といえば,0, 1, 2, 3, 4, ... の無限の先に ω という「数」が来て,さらに ω+1, ω+2, ... と続く,いやいや,もっともっと続くアレだ.無限のところでカウントし続けるやつだ.と言っても知らない人も多いだろう.さいわいこの論文はたった 1 ページ強で順序数の解説をしているので,参照するといい.(「年末は家具の入れ替えとか順序数とか」も多少は参考になる.) 順序数という技巧が経済理論で使われるのはかなりラディカルだが,社会選択のシナリオの転換をラディカルに迫る以上,技巧もラディカルにならざるをえなかったということだろう.ラディカルな技巧ではあっても,むずかしいというわけではないので,尻込みする必要はない.

参考文献

Masahiro Kumabe and H. Reiju Mihara (2008). Preference aggregation theory without acyclicity: The core without majority dissatisfaction.

(HRM からの寄稿)

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【2008/11/25 16:00 】
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