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社会選択のコアにかんするクイズ

選択肢の集合 X がたとえば X={a, b, c, d, e} のようにあり,個人がたとえば 1, 2, 3 の 3人いるとしよう.それぞれの個人は選択肢にかんして「選好」を持っている.「コア」とは多数決で負けない選択肢の集まりである.

簡単にするため,個人 i の「選好」 Pi は非対称性 (asymmetry; if xPi y, then not yPix) さえ満たせばよいとする.推移性や非循環性は要求しない.たとえば aPi b と bPi a が同時になりたつ Pi はダメだ.一方,aPib, bPic, dPi a だけがなりたつ Pi は許される.(aPic とならなくてよいことに注意.) 極端なばあい,Pi はサイクルをもってもいい.

選択肢 x にたいして,ほかのある選択肢 y が存在し多数 (3人の社会ならば 2人以上) の個人 i が y を x より好む (yPix が多数の i についていえる) とき,x はコアに属さない.そうでないときは x はコアに属する (入る).より一般的な話は「社会選択における極大要素」を参照.

「選択肢 x が個人 i にとって極大要素ではない」とは,ほかの選択肢 y が存在して,その個人 i が y を x より好む (yPix) ということだ.そういう y が存在しないとき,x は極大要素である.一般に極大要素は多数存在するかもしれないし,存在しないかもしれない.

たとえば X={a, b, c, d, e} のとき,aPib, bPic, dPi a だけがなりたつ Pi を考えれば,その極大要素は d と e である.

では問題だ.証明するか反例を作ってもらいたい.個人が 3 人で,選択肢の数は高々5個のばあいに限って考えてくれてもいい.勘のいいひとなら数分でできるだろう.こちらのビデオにある (2分55秒から) 投票のパラドックスもヒントになるかもしれない.

問題 1. コアに入る選択肢はかならずいずれかの個人にとって極大要素になっているか.つまり x がコアに属していれば,x はある個人 i の極大要素といえるか?

仮にこの問題の正解が否だとすると,コアに属しているのにだれの極大要素にもなっていないような選択肢 x が存在することになる.しかしそのことは,コアに属するほかの選択肢 y がだれかの極大要素になることを否定はしない.よって次の問題を与える.

問題 2. コアが空でないとき,コアはかならずいろんな個人の極大要素をあつめてきた集合と交わるか? つまり,コアが非空なら,コアに属すると同時にだれかの極大要素になるような選択肢はかならず存在するか?

ヒント (11/19/2008 追記)

数分以内で正解を出すコツは,最初の見当を誤らないことである.

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【2008/11/18 08:01 】
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