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Fault Tolerant Implementation: 不合理な連中がいるからといってゲーム理論は死なない

「人々が合理的にふるまうと仮定すれば確かにそのルールはうまく機能するだろう.しかし人々は合理的にはふるまわないのが現実だ」という言葉のあとに来るもの---それは「だからそのルールはだめだ (他のルールを考えてくれ)」なんてあまっちょろいものではない---「正解」とされるのは,「だから厳密なルールはどれもダメだ! だからゲーム理論はダメだ!」というものだ.そしてあらゆるゲーム理論家 (メカニズム・デザイナー) をこの世界から追放した上で,直感的にはまあまあのパフォーマンスをしそうな,曖昧でいい加減なルールを採用することが現実への「正しい」対処法とされる.

だが残念ながら,社会科学 (というか政策とか経営とかの実務分野) では普通のこのテキトウな対処法は,自然科学 (というか工学分野) では通用しない.システムの一部が想定通りに動かない可能性があるからといって,システムはいい加減に作った方がいいということにはならない.こういうばあい,どうすればいいか.コンピュータ・サイエンスでいうところの「フォールトトレランス (fault tolerance)」(語義は以下の引用を参照) という考え方が,どう対処すべきかを暗示している:

システムに障害が発生したときに、正常な動作を保ち続ける能力。言い換えれば、障害発生時の被害を最小限度に抑える能力のことである。「耐障害性」「故障許容力」などと訳される。……「どれだけ障害が発生しにくいか」ではなく「故障が起こった際にどれだけ耐えられるか」という意味が強い。有名な例として、ジャンボジェット機のいくつかのエンジンが故障しても、一つ動いていれば飛び続けられるように設計されていることが挙げられる。…… (Yahoo! コンピューター用語辞典)

この fault-tolerance の考え方を遂行理論に取り入れたペーパーが Eliaz (Kfir Eliaz, Fault Tolerant Implementation, Review of Economic Studies 69, 589-610, 2002) だ.「遂行理論」というのは「メカニズムデザイン」とほぼ同義の (社会選択やゲーム理論に隣接あるいは重なる) 学問分野で,望ましいとされる「社会的」目標を,人々へのインセンティブを阻害することなく実現するようなルールを設計する分野だ.たとえばひとつだけある腎臓を移植すべき患者を選ぶのに,「いちばん高いカネを出す (というよりは,もっとも高くその腎臓を評価する) 患者に移植しよう (そしてそのカネを医学の発展に役立てよう)」という目標を実現したいとしたら,オークションというルールを使えばいい.なかでもセカンドプライス・オークション (最も高値をつけたひとに二番目につけられた値段で腎臓を売る) なら,各人が腎臓をもらうために払ってもいいと思っている額をそのままつけるのが合理的だから (それ以外の額をつけると損する場合がある) ,ルールの想定する「合理的」な行動をするのはたやすいはずだ.しかし中には不合理な行動をする人は何人かはいるもので,自分の評価額とはまったくかけはなれたような額を提示して腎臓を移植してもらったはいいものの,二番目につけられた高値である支払額を払った結果,けっきょくは自分も家族も飢え死にするしかない状況に陥ったりする.(話がややこしくなるから,とりあえず福祉政策やチャリティーはない社会を考える.あるいは腎臓ではなくてもっと普通の財を考えてくれ.) 要するに,いちばん高く評価する者に腎臓を渡すという目標が正しく実現されなくなるわけだ.(「自分の支払い能力を超える《評価》はありえないのか」というべつの疑問も出てくるだろうが,これも話がややこしくなるので,「腎臓移植自体よりもそれによって失う自分の短い命や家族の命の方が大切だ」というのがそのひとの真の評価で,「腎臓移植自体は延命を意味しない」のは分かっているものとしておく.ややこしいな.)

Eliaz (2002) は,合理性からは予測できない行動をとる「欠陥プレーヤー (faulty players) 」が高々 k 人いて,だれが欠陥プレーヤーかも分からない状況を考える.不合理な行動をとるプレーヤーが一定人数までいることを許した上でのメカニズムデザインを考えているわけだ.(一方で Fault Tolerant Implementation が合理性の不足した状況を考えるとしたら,他方には戦略的操作不能なメカニズムのデザインという,過剰な合理性のある状況を考える問題もある.ある意味これらは似た問題と思う.)

そういえばボクが「実証政治理論」という分野を勉強したとき,不自然に思った前提があった.その前提とは,「人々が政策を一次元空間あるいは多次元空間の点と認識して,自分の理想とする政策もその空間の一点と考え,さらに自分の理想点に「近い」政策ほど望ましいとするような選好を持つ」という,選好にかんする仮定だ.しかし,この特殊な選好はもとより,すべての人が同じ政策空間をイメージするということさえ普通ではないのではないか.(たとえばこの前の衆議院議員選挙で多くの有権者は政党の位置を郵政民営化への積極度という一次元で考えたかもしれない.「10のスケールで言えば,自分は7くらいの民営化度を支持し,自民党の案は5くらい,民主党のは曖昧だが 0から4くらい.よって自民党へ投票」とか考えただろう.その一方で,年金をはじめとする福祉政策という軸も考えて多次元の政策空間をイメージした人もいるだろう.さらには,そういった「軸」をイメージできないひとも少なくないだろう……じつはこの選挙ネタもあたためてはいるんだが,日の目をみるかどうか.) 大多数の人々は上のような選好を持つとしても,一部そうでない人が (高々 k 人とか) 混じっているような社会を考えた方が自然ではないか.そんなことを思いはしたが,モデル化はしなかった.

「で,社会の一部が不合理かもしれないという状況をモデル化するのは簡単だけど,均衡とかうまくモデル化できるのだろうか?」といった疑問を抱きつつも,自分なりの答えをあまり考えずに読み進めてみた.Eliaz の文章はとてもよく書けていて,読み進むに連れて「このモデリングにはこれまでの合理選択理論のフレームワークを超えるような,なかなか大変で壮大なアイディアを要するかもしれない」という気持ちがだんだん盛り上がってきた.だが,回答は意外にあっけなかった.均衡概念 (Definition 1) はナッシュ均衡と弱支配戦略均衡との中間的なものでいける.遂行概念 (Definition 2) も数学的にはひとつ条件が加わるだけだ.

経済学を学ぶ大学院生以上 (まだメカニズムデザインの章を勉強していない一年生にはむずかしいだろうけど,二年生には常識だよな) 向けにポイントを書けば,均衡は「高々 k 人しかいない一部の人々 (欠陥プレーヤー) がどんな戦略をとったとしても,それ以外の人々がその均衡戦略を取るかぎり,自分もその均衡戦略を取り続けるのが望ましい」という条件で定義されている.均衡概念自体は欠陥プレーヤーの存在を想定して定義されているが,その均衡自体は欠陥のない側のプレーヤーが取る戦略の組み合わせということになっている.よって,「均衡によって実現されるような選択肢の集合が,目標とする選択関数の選ぶ選択肢の集合と一致する」という通常の遂行の定義をそのまま用いることはできない.「何人かのプレーヤーは均衡戦略を取らない」という想定が死んでしまうためだ.上の条件に加え,「均衡以外の戦略を取る人が高々 k 人いたときに実現する選択肢も,目標とする選択関数の選ぶ選択肢集合に入っていなければならない」という条件を付け加えればいい.

「で,肝心の結果はどうなるのか?」って? それはボクにとっては必ずしも肝心の部分ではないので,Eliaz にあたってくれ.数学的には Nash 遂行可能性の有名な Maskin 条件に近いものが出てくる.例によってその証明は非常に一般的なルール (ゲームフォーム) を構築することでなされているが,このペーパーはおまけとして,より特殊な環境でより単純なルールも構築している.特に,外部性があるばあいの非分割財配分メカニズムは,メカニズムのあり方以前の問題として,その外部性の入り方が自分には面白かった.その問題に関しては How (not) to sell nuclear weapons というペーパーがあるらしいが,あと数日しかない夏休みにもう少しすすめておきたい研究が残っているので,このへんでこの文章も終わりにしよう.

追記 (9/27/2005): 若干の修正を加えた.なお,タイトルの日本語がやや不自然なのは意図的なものである.

追記 (8/15/2006): 合理性の異なるプレーヤの存在を考慮したモデルとして,合理的なプレーヤと限定合理的なプレーヤーを混在させたものも考えられる.トラックバックを送った「ルーカス批判外伝:非対称合理性」(yyasuda) は (結果なしだが) そのアイディアを提示.限定合理性の研究としては,(最近はほぼ完全に忘れられているけど) 90年代はじめに流行した有限オートマトン (メモリーに限界あるコンピュータ) をプレーヤーとするものなんかもあった.あれなんかはメモリーのサイズのちがいで異なる合理性を容易に表現できるんじゃないか.

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【2005/09/26 13:38 】
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今年も行って来た愛の道東

その女子学生に電話したのは数週間前だった.「9月の中旬ヒマ? 北海道行きたいとか思わないかな?」とボク.「ずっとヒマですよ.北海道行きたくてもお金ありません」と彼女.「そうなんだ.じゃ,研究室に遊びにおいで」との誘いに,彼女はやって来た.ボク「こういうの見つけたから,とりあえず予約入れておいた.二人で 4泊 132,600円.お金がない P 子は払わなくていい.行きたくない?」「えっ,もう払ったんですか?」「いや,まだ払ってないし,キャンセル料も発生しない.とりあえず押さえておいただけだから,気軽に考えて」「それにしても強引ですね」「善は急がなければね」「善って言うなら,悪いことはしませんか?」「悪いことはしないけど,気持ちいいこととかしたいよな~」「まったく.エッチなこととかさせませんからね」「ま,それでもいいけど.P 子の心境が変化したら,こっちは遠慮しないから.」

ということで (ウソ) ボクらは東北海道へ向かって出発したのだった.去年はバス旅行だったが,今回は自分でレンタカーを借りて運転した.感想: あそこは,新しい高速道路はいらないな.いまある道路の制限速度を90キロくらいにすればいい.以下,印象に残った場所を行った順に列挙しよう:

  • 釧路湿原道路.湿原の中を気持ちよく走れる釧路市内の農道.
  • 細岡展望台.釧路川を見ることのできる定番の展望台.展望台に東から通じる道路は地図上では湿原の端っこを走っているが,とちゅうに湖もあり湿原をじゅうぶん感じられる.
  • コッタロ湿原展望台.南から入ると砂利道をしばらく走ることになる.展望台に上るまでがけっこう歩く.すぐそばの沼の景観は圧巻.
  • 釧路市動物園.あるひとに勧められて行ってみた.おっかないヒグマが立ち上がったり,手招きをしたり,手を叩いたりしてエサを求める動作がおもしろかった.エサを口でキャッチするのも上手.
  • 和商市場.観光客が勝手丼を食べに来る釧路駅そばの市場.ボクははじめからウニイクラ丼にするつもりだったのでいろいろ店を回るつもりはなかった.他にもいくつか具を入れた女子学生もいろいろ店を回るのは面倒で,けっきょくご飯以外はひとつの店でそろえた.
  • 摩周湖.日の沈むころに着いた.第一展望台の駐車場で 410 円取られた直後に料金所が閉鎖され無料駐車場になった.例の小さな島は今回もはっきりと見えた.しかし第三展望台に近づくと濃い霧でほとんどなにも見えなかった.女子学生とキスでもすればよかったな.
  • 知床貴゛族車馬道.「ホームページ見ましたよ.なにか出してくださいよ」と店のマスターに言うと,サメガレイという肴の刺身を出してくれた.注文したのは食べやすい順に,エゾシカのユッケ (だったけ?),熊焼き定食,海馬(トド)焼き定食だった.北海道のいろんなところで取れた野生のを入手しているという.エゾシカは普通に食べられた,トドはレバーのような血なまぐささがあって女子学生の口には合わなかった.ヒグマは厚めの肉が少し歯ごたえある調理法でなかなかよかった.「今晩は盛りがついて初夜になるよ」とマスターは言っていた.
  • ホテル知床.大きな温泉宿……といのはどうでもよくて,それまで拒んでいた (というか,ボクが求めなかったんだけど) 女子学生が初めてボクに身体を許した素敵な場所というのがポイント.こんなことになったのは,車馬道の珍獣メニューでお互い盛りがついたためか,(前日歩き疲れてくたくたになって夜はさっさと寝てしまった反省から) たまたまその朝ふたりでユンケルを飲んだためかは分からない.でもこの話は長くなるしたぶんウソなので,平凡助教授と女子学生とのセックスの詳細な記述はいずれべつの機会に書くかもしれない性愛日記に回そう.そういえば,一階のショップで見かけた女子高生くらいのかわいい女の子 (客) がだれかに似ていて,でもだれだかなかなか思い出せなくて,とても気になった.
  • 知床半島のクルージング.高波による全便欠航のため,行けず.
  • 知床峠.途中,シカとかキタキツネに出会った.国後島の南の部分を初めて見た.少し感動.
  • 知床五湖.今回は一湖と二湖を歩いて,去年行った展望台にも行った.三湖以降は,ヒグマが出てきそうで怖いし,面倒なので行かず.
  • 硫黄山 (川湯温泉の近くの).ここも入るときは料金所が開いていた (駐車券は摩周湖第一展望台と共通) が,出るときは閉まって無料駐車場になっていた.硫黄のいい匂いに釣られて,レストハウスで温泉卵を買って食べた.
  • 屈斜路プリンスホテル東館.すべての客室が屈斜路湖に面している.やはり周りに店はない.割高になる夕食バイキングはやめて,買って来た温泉卵や地階のコンビニで買ったホームメイド・チョコレートやポテトチップスをおやつに.夜食にラーメンを食べにいった.
  • 美幌峠.空は晴れ渡り360度展望が開けていた.最初は来る予定はなかったのだが,思ったより奇麗なところで,眼下の屈斜路湖がすごく印象的だった.今回のベストスポットかもしれない.おまけに,自衛隊のトラックが何台もやってきて峠の駐車場にずらりと停めたのも壮観だった.
  • 和琴の湯.和琴半島の入り口付近の露天の混浴温泉だが,真昼のためかさすがにひとはいなかった.でも,近くにあった小屋の中の混浴共同風呂の方が,密室であるため入るのにもっと勇気が要りそうだ.というか,ボクらが訪れたときはどっちもひどく熱くて足湯さえためらわれた.
【2005/09/18 15:39 】
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選挙とか市町村合併とかで思いついた,独創性のとぼしい実証研究ネタ

比例代表制のドント方式 (d'Hondt or Jefferson's method) の説明 (たとえばこちら) は,たいてい計算方法だけしめして意味をしめしていない.それで分かる人もいるだろうが,分からな人のほうが多いのではないか.ドント方式のポイントのひとつは,「各政党の各議席に優先順位をつける方式である」ということにある.つまり,その優先順位は「J 党と M 党のどちらを優先するか?」といった,政党を比較する形ではない.「J 党の3議席目とM 党の1議席目とのどちらを優先するか?」といった比較をするのだ.

具体的には,ドント式による優先順位は以下のようなものだ: すでに議席がいくつか配分されたとして,いま,次の追加的な 1 議席をどの政党に配分すべきかを考える.その議席を追加したあとに議席あたりの獲得票数はいくらになるかを各政党について計算する.そして,その《議席あたりの獲得票数》がいちばん大きい政党に,その追加的な議席を配分するのである.たとえば 3001票獲得したJ 党と1000票獲得したM 党があるとする.J 党が最初の 1 議席を獲得したときの《議席あたり獲得票数》は 3001,一方 M 党のそれは 1000 だから,その議席は J 党に行く.つぎの議席の配分を考えよう.J 党がその議席を獲得したときの《議席あたり獲得票数》は3001/2=1500.5 (すでに1議席を獲得しているから分母は 2になる),一方 M 党のそれは 1000 だから,その議席は J 党に行く.つぎの3議席目の配分を考えよう.J 党がその議席を獲得したときの《議席あたり獲得票数》は3001/3=1000.3 (すでに2議席を獲得しているから分母は 3になる),一方 M 党のそれは 1000 だから,その議席は J 党に行く.この比例区に3議席しかなかったらこれでおしまい.J 党は 3 議席,M党は 0 議席を獲得となる.政党が2つの例は分かりにくいので,読者は他の例も見るといいだろう.ポイントは「追加議席を獲得したとしたときの《議席あたり獲得票数》」を基準にするということである.「社会選択理論」あるいは「公理的方法」として知られる学問成果を活用すれば,本当は「整合性」などの公理によってもっと意味を与えることができるのだが,ここでは省略.

追加 (10/5/2005): 図式的に意味を捉えるには,こちらのページの説明,特に最後のグラフを見るといい.■

ところで瀬戸内海に面した市である高松は,近く塩江町との合併により,徳島県にも接する「県境のまち」になる.その後もいくつかの町が加わり,ある期間たとえば高松地区選出の市議会議員は 40 人,塩江地区選出の市議会議員は 1 人となる.ここで疑問になるのは,この議員定数というのはどういうふうに決めたかである.おそらく国家が「こういう風に配分せよ」と細かく決めたわけではなく,関係市町村の交渉のなかで決まったのだろうけど,どういう基準にしたがったのだろうか.かりに有権者の人口比にしたがっているとしても (べつに塩江人が高松地区から出馬してもわるくないだろうから,したがっていない可能性も大きいが),微妙な問題である端数はどうあつかわれているのかというのが気になるところだ.そこで実証研究のための課題をひとつ.このような配分議席数は最近になって出て来たものなので,プロの政治学者もまだ論文として発表していない可能性が高い:

  • 各地区への議席配分はドント方式ほかいくつかある比例配分方式のどれかにしたがった結果だろうか?
  • ある地区 A が他の地区 B よりも不利とみなせる配分結果を受け入れているばあい,地区 A は地区 B よりも他の面で不利な状況にあったと言えるか?

「他の面で不利な状況」とはたとえば (人口あたりの? 税収あたりの?) 財政赤字が大きいといった,数字ではかれるものがいい.客観的に観察可能な数字とは無関係に議席数は決まっているかもしれないし,そうではないかもしれない.ちなみにアメリカの下院の議席数は各州に配分されており,その配分方式にはいろいろと変遷があった.それは州同士の交渉ではなく (代表同士の交渉とも言えるが),国家レベルで配分の方式をひとつにきちんと決めた上でなされてきた.よって,そのひとつの方式をどういうものにするのがいいかという規範的・理論的な研究がなりたちえる.代表的な研究として,Balinsky and Young (1982) Fair Representation という本がある.

【2005/09/02 10:20 】
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退屈な穴埋め作業ぼちぼち進行中

表の穴埋めという,tedious (退屈な) な作業の続くこのごろである.気分転換も兼ねて,何のことか説明しよう.

いま yes/no で答えられる基準があるとする.たとえば日本人を,男性/非男性(=女性,おそらく) とか (住民票上での) 東京在住者/非東京在住者 (東京非在住者?) に分けるような話である.基準がひとつならば対象は概念上 2 つに分けられる.基準がふたつならば,対象は4つに,三つならば 9 つに,四つならば 16 個に,五つならば 25個に,六つならば36個に---おっとまちがえた---三つならば 8つに,四つならば 16 個に,五つならば 32個に,六つならば 64個に分けられる.ところが概念上あるカテゴリが存在することと,実際にそのカテゴリに対象物が存在することとは違う.たとえば,「北海道在住で米国 MBA で東大工学部出身でオタク」なら存在するかもしれないが,「北海道在住で米国 MBA で東大工学部出身で非オタク」は現実には存在しないかもしれない.概念上考えられるカテゴリーに理論上あるいは経験上 対象物が存在しないとき,そこにひとつの (理論的あるいは経験的な) 命題が生まれる

ボクが共同研究者と現在進めている研究 (の一部) は,yes/no の二値で答えられるような基準を六つ持って来て,それによって考えられる26=64個のカテゴリのそれぞれに実際に対象物が存在するかどうかを調べるものだ.その作業をひとつひとつしらみつぶしにやっている (ただし 16 個分のカテゴリについては,存在しないことが作業前から分かっていた).「なんて単純な作業だ!」と思われるかもしれないな.

リマーク.関心あるオタクのために書くと,提携ゲーム (協力ゲーム) のひとつである単純ゲーム (投票ゲーム) を monotonicity,properness,strongness,nonweakness,そして極秘の二つの基準によって 64 カテゴリに分類しているのである.簡単なばあいとして有限人数の単純ゲームに限れば,そして具体的に挙げた最初の4つの基準だけで分類すれば,たとえばそれら4つのいずれも満たさないようなもの (---- と表記) は存在しない.Weak なゲームは proper になるからだ. (以下,基本的には- は non に対応; ただし最後の記号は - が weak を + が nonweak を表す.) 同じ理由で +-+-, +---, --+-, ---- で表記されるカテゴリに入る単純ゲームは存在しない.他にも,non-monotonic で proper で strong で weak な単純ゲーム (-++-) は存在しない.Weak で strong な単純ゲームは dictatorial となり monotonic になるからだ.これら5個以外の 11個のカテゴリについては,そのカテゴリに属する単純ゲームが存在することが,具体例を作ることによってしめすことができる.簡単で単純な作業なので,暇人は試みられるといい.もっと暇人は,与えられた有限単純ゲームがそれぞれの性質を満たすかどうかを判断するコンピュータプログラムや,このような具体例を自動生成するプログラムを書いてみると工学部当たりの卒業論文にできるのではないだろうか.責任は持たないが.(このリマーク内の用語はこちらのペーパー の Section 2.1 に載っている.)

リマークに書いた例はいずれも簡単に作れるので誤解を生むかもしれない.しかしボクらの考えた微妙なカテゴリに入る例を作る作業はじっさいはちっとも単純ではない.ひとつひとつの例をつくるために,けっこう高度な技を要するのだ.例を作るための前準備としていくつかの定理とか補題とかを作る必要があって,それにかなり頭脳を投入せねばならず,ほとんど正気を失いそうである.その準備が済むと今度は個々の例を作ることになるが,こちらはとにかく退屈な作業の量に圧倒されそうで,いまにも狂いそうだ.

で,64 個の穴を埋める作業の息抜きに,まったく関係ないペーパーを読んだら,ちょっとよさそうなアイディアを思いついた.そちらのアイディアは着手するかどうか分からないし当分は秘密ということにして,代わりにわが平成香川大学 GSM (大学院地域マネジメント研究科) の学生でもできそうな実証研究ネタでも披露しよう.「比例代表制のドント方式の解説がどのサイトも下手だなあ」と思いながら思いついたものだ.

つづく

追記 (11/5/2006). この記事の投稿者から,この秋公開になった関連ペーパーの情報が届いた.たとえば「11個のカテゴリについては,そのカテゴリに属する単純ゲームが存在することが,具体例を作ることによってしめすことができる.簡単で単純な作業なので,暇人は試みられるといい」という問題の答は,このペーパーの現バージョン Section 5 にある.もちろん 64個のエントリーを持つ表も載っている.本文に述べた 6 つの基準間の関係が一本のペーパーに網羅されているわけであり,手頃なレフェレンス・ツールになっている.

Masahiro Kumabe and H. Reiju Mihara. Computability of simple games: A complete investigation of the sixty-four possibilities. MPRA Paper 440, Munich University Library, October 2006.

【2005/09/02 09:54 】
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