いや，それは言い過ぎだった．経営学は学問じゃないから．あはは． ま，ジョーダンはこのくらいにしておこう．価値のないのは経営学じゃなくて経営「学者」だもんな．で，ミクロ経済学が「価値」を中心概念とするのはまちがいない．なんせ「価値の理論」と呼ばれるのだから． 経済学と経営学のちがいはなにか？ 研究対象のちがいという基準と方法論のちがいという基準との二次元で分けたり (by 伊藤秀史)，均衡論かそうでないかという方法論のちがいで分けたあと，新制度派経済学がどちらであるか分類しようとしてやっぱり混乱したり (by 菊沢研宗)．(「パレート均衡」ってのは「パレート最適である競争均衡」といった意味だろうけど，ちょっと略しすぎかも．) まあ，他人はいろいろと試みているようだ． 自分にとって正直，ある研究が経済学であるか経営学であるかはどうでもいいことだ．社会選択理論が経済学であるか政治学であるか倫理学であるか情報科学であるかなんて，どうでもいいじゃないか---というのと同様だ． しかし自分の参加する組織 (GSM) が，学問のマナーを知らない野蛮人に支配され，彼らの論理で数々の組織的隠蔽行為が正当化されるとき，そして彼らの論理で自分が狂った評価を受けなければならなくなったとき，
と思う． ということで区別を試みてみた．要するに，経営学者は目が悪いのだ．視野が狭いんだろうな．ボクらに見えるものが彼らには見えないらしい．
この記事に手を入れてるあいだに，早くも↓拍手が届いた．Thanks! 追記 (2/25/2008) 「見えざる手」が見えないひとたちは，「マクロ経済学だって個々の企業が見えてないし，ミクロ経済学だって企業内部が見えてないじゃないか」と反論するかも．(古い) マクロ経済学にとっては，たしかに個々の企業は見えないと言えるかもなあ．でも，ありゃあ経済学じゃないから，はっはっは．ミクロ経済学についてはちがってるぞ．企業の内部が「見えない」わけじゃなくて，「見ない」だけだから．で，経営学者は「見ようと思えば「見えざる手」を見ることはできるけど，必要がないから見ないだけだよ」って言えるのかな？  |
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シンプルゲーム (simple games) の中村ナンバー (Nakamura number) にかんするペーパーを投稿した． レフェリーからお返事が返ってきた．いや，エディタからのお返事にレフェリーのリポートが添えられていた:「なんで単調性を満たさないシンプルゲームまで考える？」 そりゃ，包括的研究だからさ！
問題は，いくら「包括的」と言っても，どうしてそこまで包括的にするのかってことだろう．それはボクが極端な人間だから---というのは冗談で，私は平凡助教授です．とりあえずレフェリーは「戦略的基礎付け」を求めているらしい．単調性を満たさないようなシンプルゲームを考えるなら，それを戦略的ゲームフォームから導いてもらいたいようだ．ヒントとして effectivity function という言葉が入っていた．図式的にはこんな感じか:
そりゃ，できないことはないだろうけど面倒くさいんじゃないか……． 《ゲームフォーム》 (game form) とは，各プレーヤーがどういう戦略を持つか，その戦略の組合せがどういう結果をもたらすかを記述した概念だ．簡単に言えば，戦略ゲームの表で利得の組合せのかわりに選択肢を入れたものになる．たとえば次の行列からなる2人ゲームフォームで，プレーヤー1が第2行を，プレーヤー2が第3列を選ぶと，選択肢 c がアウトカムとして実現する:
いま，プレーヤー 0 を追加して3人にしよう．プレーヤー 0 は上の行列 1 と次の行列 2 のいずれかを選ぶ．
つまり，プレーヤー 0, 1, 2 の戦略はそれぞれ行列，行，列の選択となる．ここでプレーヤー2に注目してほしい．このひとが最初の列を選べば結果は必ず a になり，次の列を選べば b になり，3列目を選べば c になる．ほかのプレーヤーの戦略に左右されず，結果を確定できる．このとき {2} は集合 {a}, {b}, {c} のそれぞれにたいして effective という．一般的に言ってみよう．選択肢の集合 X からなにかを選ぶ決定問題があるとする．提携 (プレーヤーのあつまり) S が選択肢のあつまり (X の部分集合) B にたいして effective であるとは，決定プロセスの最終結果が B に属するように S はできるということである．これは解釈であって定義じゃないけど，この「S が B にたいして effective」という概念は，べつにゲームフォームを考えなくてもなりたつことに注意してほしい．提携のパワーを表現するこの概念は，《権利の理論 》(theory of rights) では重要なものとされている． では，ゲームフォームから「S が B にたいして effective」という概念を導こう．どうしてゲームフォームを考えるかといえば，そのほうが各人にどういうオプションがあるのかとかいった意思決定の状況がはっきりするからだ．提携 S が選択肢集合 B にたいして (alpha)-effective とは，「S のひとびとがうまく戦略を選べば，S 以外のひとびとがどんな戦略を選んでいても結果が集合 B に属するようにできる」ということだ．ここでふたつ問題が生じる． ひとつめの問題になるのは，「選択肢についての単調性」で，なんで問題なのかはあとで書くけど，ボクらにとって致命的な問題ではない．これは，提携 S がある集合 B にたいして effective であるなら，B をふくむような任意の集合 B' についても effective となることだ．たとえば上の3人ゲームで，ひとりの集合 {2} が {a} にたいして effective であることから，{2} は {a, b} にたいしても，{a, c} にたいしても，{a, b, c} にたいしても effective であることが言えてしまう．たとえプレーヤ 2 の戦略が 1 列目しかなくても自動的に言えてしまう．同様に，プレーヤ 2 の戦略が最初の 3 列分しかなかったとしても，このプレーヤは集合 {a, b, c} の任意の空でない部分集合にたいして effective となる．ふたつめの問題は，「個人についての単調性」で，ボクらにとって深刻なものだ．これは，提携 S がある集合 B にたいして effective であるなら，S をふくむような任意の提携 S' も B について effective となることだ．たとえば提携 {2} が第 1 列目という戦略によって {a} を確実に実現できるならば，提携 {1, 2} は「プレーヤー1 がいずれかの行，プレーヤー2が第1列目」という戦略によって，やはり {a} を確実に実現できる．これでは「非単調なシンプルゲームを導け」というレフェリーの要求に応えられない！ というのは，ボクたちは「(空でない) 任意の選択肢部分集合にたいして effective である提携」を「勝利提携」の定義としたうえで，ゲームフォームからシンプルゲームを導こうとしていたからだ．それによって得られるシンプルゲームはかならず単調になる． レフェリーの説明不足を確信したボクは，リポートを受け取った直後に，「意味分からん．レフェリーは勘違いしてないか．関連文献あげろ」とエディタにせまった．さいわいレフェリーからは「すまないなあ，舌足らずだったよ．あまり有名な話じゃないけど，Kolpin の論文に載ってるよ♪」と，エディタ経由で速攻で返事が届いた． けっきょくは effectivity の概念を修正すれば，選択肢についての単調性も個人についての単調性もなりたたないものにできる．この修正された概念を "exact effectivity" と呼ぼう．どう修正したか，その定義をボクがここで読者に与える代わりに，例を与えて帰納的に考えてもらおう．「発見的学習」とでもいうのかな． たとえば上の3人ゲームフォームで，プレーヤー集合 {1, 2} は {a}, {b}, {c}, {b, c} にたいしては exactly effective であるが，{a, b}, {a, c}, {a, b, c} にたいしては exactly effective とはならない．{b, c} にたいして exactly effective であるのは，プレーヤー 1 が2行目，プレーヤー2が 7 列目を選ぶという戦略があるからだ．プレーヤー 0 の出方次第で，b あるいは c が実現するわけだ．あるいは 1 が 3 行目で 2 が 7 列目という組合せも同様だ．ところが，そらら以外の (プレーヤー 1, 2 の戦略の) どの組合せを考えても，実現する結果は確定している---プレーヤー 1, 2 はプレーヤー0に結果をゆだねることができないのだ．もっと言えば，提携 {0, 1, 2} は {a}, {b}, {c} だけにたいして exactly effective であり，ふたつ以上の要素を持つ集合にたいしては exactly effective でない．賢い読者は以上の議論で exact effectivity の定義を再構築できるだろう．正確なところは Kumabe and Mihara (2007) の Remark 4 に載っている． けっきょく，「提携 S が選択肢集合 B にたいして exactly effective」というのは，「S は最終結果を B のなかに収めるパワーを持つ一方で，B のどの要素も S 以外のメンバーの戦略次第で実現可能」と理解できる．つまりこの概念は，最終結果を他人に委ねるパワーを表現したものになっている．しかし結果を他人に委ねるパワーなんてものを真に受ける必要があるだろうか？ そんなものはパワーとして考慮するに値しないのでは？ そこで思いついたのが，ずっと前に読んだ，ある哲学者の権利論にかんするペーパー (Van Hees, 1999) だ．いやあ，雑学というか教養がこういうところで役立つとは思っていなかった．(「そのペーパーも社会選択理論だから，お前にとって雑学ということはないだろ」と言われればそうなんだけど，Effectivity 自体は権利論と密接な関係がある一方，中村ナンバーは effectivity と関連づけられることがあまりなくて，権利論とはほとんど関連づけられていない．そういう背景を理解してほしい．) Van Hees は，"the right to be completely passive" (完全に受動的である権利) あるいは "maximal freedom" (極大自由) という概念を仮定して，Sen や Gibbard の有名な「自由主義のパラドック」を解決した．(彼のフレームワークでは提携ではなくて個人のみが権利を持つのだが，そこはいまは無視する．) ある提携が完全に受動的である権利を持つとは，その提携が選択肢の全体集合 X にたいして effective であると言い変えることができる．ところが，すべての提携は X にたいして alpha-effective なので，alpha-effectivity の概念はこの完全受動的という概念をうまく表現できないのだ．もし女性全員が「きれい」であるのならば，「美しさ」という基準で女性を区別したいときに「きれい」という言葉では役に立たないのと同じことだ．一方，maximal freedom は選択肢にかんする単調性を要求するが，alpha-effectivity はこれも自動的に満たす．したがってalpha-effectivity は maximal freedom をうまく表現できない．以上から，採用する effectivity の概念が，(受動的であるとか権利を放棄する権利といった)「結果を他人に委ねるパワー」をきちんと表現できるものでなければ，Van Hees の結果を適用しても意味がないことが分かるだろう． 権利論にかんする議論のような動機づけ抜きで，exact effectivity というほとんど知られていない概念をわざわざ持ち出すのはためらわれた．そこでボクらは中村ナンバーのペーパーに権利論を持ち込むことにした． レフェリーがどう反応するかは分からない． [追記] 二度目のレフェリーコメントの全文は，"I think the paper is now suitable for publication" (ピリオドなし) というものだった．ピリオドが抜けていることから，それ以降になにかあったんじゃないかという気もするが，まあ，文句のつけようがないということだろう (笑)． 練習問題 10 人の個人からなる集合上のシンプルゲームで，任意の 9 人の個人からなる提携を勝利提携とするものを考える．このシンプルゲームを (alpha effectivity あるいは exact effectivity を経由して) 適当なゲームフォームから導け．ヒント: X={0, 1} とできる． 答は Kumabe and Mihara (2007) の Remark 4 にある． 参考文献 Kumabe, M. and Mihara, H. R. (2007). The Nakamura numbers for computable simple games. MPRA Paper, Munich University Library. van Hees, M. (1999). Liberalism, efficiency, and stability: Some possibility results. Journal of Economic Theory, 88:294-309. 追記 (2/1/2008). 修正版を再投稿して2ヶ月と10日後の2008年1 月31日，ペーパーは Social Choice and Welfare に無事アクセプトされた．上に引用したたった一行のレフェリーコメントについては，「now suitableって、しゃーないなー、って感じじゃん。何回も修正校送られてくるの嫌だから、もーこのへんにしといたろか？？って感じだよ、日本語で言えば。」という見解をしめすひともいた． (HRM からの寄稿)  |
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今年のノーベル経済科学賞はメカニズム・デザインの Leonid Hurwicz, Eric S. Maskin, Roger B. Myerson に決定した． ノーベル賞公式サイトには一般向け Info や学術的バックグラウンドが載っている．(このブログでもメカニズム・デザインは頻出なので，いまさら説明はしない．) 経済学者に言わせれば，「メカニズム・デザインはまだ受賞していなかったのか？」という感じかもしれない．事実，業界人の受賞予想は，近年オークション理論や契約理論などの派生分野に移っていた (たとえば yyasuda の記事)． 報道関係者も準備できていなかったのか，今回の初期報道では「レオニード・ハーヴィッチ名誉教授」「レオニード・ハーウィッツ名誉教授」「レオニド・ハーヴィッツ・ミネソタ大名誉教授」「レオニッド・ホルウィッツ教授」「レオニド・ハーウィックス名誉教授」「レオニード・ハーウィッツ名誉教授」など，受賞者名の表記の揺れも大きかった．(実際はアメリカでは「リオ」に近い発音で呼ばれている．) (ハーヴィッツの教える大学) ミネソタ関係者は長年「そういう派生理論の前に受賞すべき基礎理論 [メカニズム・デザイン理論] があるだろう!」と，ノーベル経済学賞への不信を募らせて来た (たぶん)．ミネソタで長年教えたべつの経済学者が数年前受賞したときも，「ん? [Leo を飛ばしてないか?]」という感じだった (じっさいにボクが確認できたのは少数だが)．関係者はまったくちがう文脈で「ハーヴィッツの呪い」などと暗示を交えつつ，時機を待った． いやあ，ノーベル経済科学賞，少し見直したよ． ところで Leo は最近90歳の誕生日を盛大に祝ったばかりだ．盛大にパーティーする前に受賞してくれてたら，もっと効率的だったかも． 追記 (10/18/2007). ミネソタからリセプションの案内が届いた．本文はこう始まる:
やっぱりミネソタ関係者は，(この記事のタイトル同様) 「ついに」("finally") という言葉を添えずにはいられないわけだ． 追記 (10/18/2007). メカニズムデザインの成果を，「すべてを市場まかせにしてはだめだ」ということにしてしまおうとする解説はちょっと気になる．それは成果ではなく，(特に初期のメカニズムデザイナーの) 研究のモーチベーションだ．「市場についてはすぐれた点も欠点も分かった．ではそれ以外の資源配分方法は？」という疑問にたいして，「それ以外の配分方法」をすべて同時に考えられるフレームワークを作ったのがメカニズムデザインのすごいところだ．で，その疑問にたいする答だが，それほど単純ではない．研究動機が多様なのと同様，成果のまとめかたも研究者によって差があるだろう．(おそらく大多数の研究者は，単純なまとめはやりたくないだろう．) しかしメカニズムデザインの成果の多くは，市場メカニズムが伝統的に理解されていたよりもさらにすぐれたものであることを示唆している (これについては議論の余地はないはずだ)．大雑把にいえば，「市場メカニズムに欠点はあるにせよ，市場メカニズムを越える配分方法は見つからなかった」とまとめたほうがより成果を反映しているとボクは思う．リバタリアン系の雑誌 Reason に載った "What is Mechanism Design?" はそんなボクの理解に近い一般向け解説だ．「すべてを市場まかせにしてはだめだ」といったミスリーディングな解説に毒されてしまった読者への解毒剤としておすすめする．  |
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前回の記事で書いた経済学者と工学者のカルチャーのちがいはどこから来るのか．鍵になるのは以下の真実だ:
「経済学者」がいつのまにか「経済理論家」になっていたり，横尾らの指摘とややずれる (最適化の結果，社会がどうなるかというのが均衡；経済学者が均衡に関心があるなら，その計算に関心を持ってもおかしくないはずだ) 問題は重要でないから無視する． 経済学者にもいろいろあるが，ミクロ理論，特に一般均衡理論の専門家は真実 E の傾向が強いはずだ．この分野の古典である Debreu (1959) Theory of Value: An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium に微分は出てこないことからも想像できるんじゃないかな---と最近の大学院生に言っても通じないかもしれないが，Mas-Colell et al. のテキスト出現以前は一般均衡理論の学習に欠かせない一冊だった．経済理論家は「最適化といった泥臭い研究はオペレーションズ・リサーチとか応用数学でやってくれ」と思っているふしがある．いわば「丸投げ」だ． 「丸投げ」ってのはオブジェクト指向的といえるかも．じつは「オブジェクト指向ってよくわからないんだが，対象物をブラックボックスとしてあつかえるのは，オブジェクト指向の特徴のひとつだろう．オブジェクトを呼び出す側は，それを使えればいいのであって，その内部の仕組みを理解している必要はない． 経済理論を構成しているひとつひとつの概念にたいする考察がまず重要だと経済理論家は考えるだろう．極端な言い方をすれば，「均衡を解明するようなテクニック (たとえばエッジワースボックスとかトポロジーとか) なら重要だが，最適化のための数学テクニック自体は他分野なり数値計算ソフトウエアなりに丸投げすればいい」と考えるのでは．で，初心者にトポロジーで教えるコストは高いので，ミクロ経済学を教えるときはエッジワースボックスで厚生経済学の第一命題を教えることになる．
公理的方法を駆使する社会選択理論家のばあい，上記の経済理論家の傾向はより尖鋭的に現れる気がする．公理的方法は (意思決定) ルールにひじょうに抽象的に左翼的にアプローチする (ルールのみたすべき性質を列挙する) 一方で，ひじょうに具体的に右翼的にもアプローチする (与えられた性質を満たすようなルールを構築する)．だから思考は偏らないはずだとも思えるんだが．抽象的なアプローチをできる能力を持っていても，それを発揮する必要はないからだ．しかし理論家はついついその能力を発揮してしまうのが現実なんだろう．ルール内部の仕組みや構造を理解しなくても，どういう性質を持つか理解できれば仕事の半分は片付いた気になってしまうとこがある．自分自身に対してはそうでなくても，ひとに教えるときはそれが当てはまりやすい．具体的な細かい話をするより，抽象的な話をして納得してもらったほうが簡単と思うわけだ．(もっとも経済理論家のばあい，ある性質をみたすルールの存在が分かれば，それが具体的にどんなルールであるかにはまったく関心をもたないと言えるかも．古典的な経済理論家のほうが尖端的か？) 文章が乱れまくっているので，読者はだんだんわけが分からなくなってきたことだろう．これはパクられないための配慮である．将来，これらの断片を経済学方法論と組織マネジメントにかんする革新的研究にまとめる予定だ (ウソ; ただし後者はべつに目新しくはない)．ボクが IT 系 (オブジェクト指向って宗教系?) のこんな知識を仕入れているのは，単に失職に備えるためとか，Web サーフィンをしていたら運悪く関連ページが延々と続くページに引っかかってしまって中断できなくなったためといった消極的理由 (だけ) ではないのだ．オブジェクト指向を導入することにより公理的方法をアップデートしたうえで，あらためて社会科学的対象 (普通は社会現象という) にその方法を応用し，その応用プロセス自体をアップデートしたその方法で捉え直すという，壮大な積極的理由があるのだ．手法の開発，社会科学的対象へのその手法の応用，その応用 (これ自体は社会科学の実践) へその手法の応用……．なんだかすごいことになりそうだ……．などというと，ポストモダンが流行ったニューアカデミズム時代 (?) の論調を思い出すなあ．いや，ちっとも読んでないけど (笑)． 要するにボクとしては，
という案配に議論を展開しようと思って書き始めたのだ．でも面倒くさくなってきたのでやめる (笑)．以下は断片． 公理というのはオブジェクト (意思決定ルール) の中身を問題にせず，その性質 (パフォーマンス) を見る． ここで MBA (経営学修士) にふさわしい人物像を探るヒントとして，システム開発の例を考えてみよう．ITpro のカリキュラム一覧で，「ITアーキテクトに必要な基礎を学ぶ17講座」と「ソフトウエア開発者になるための基礎知識」の二つを比較してもらいたい．(どうでもいいが，こういう eLearning サイトを見ると GSM なんかますます必要ない気がして来る．) 図式的にまとめると，顧客に近い上流工程のひとはシステムの性質というか，システムがどういう要求を満たすべきかに関心をもち (抽象的乃至公理的アプローチ左翼)，マシンに近い下流工程のひとはその要求を具体的にどう実現するかに関心をもつ (構築的乃至公理的アプローチ右翼)．前者の「高レベル」な役割はマネジメントに近いひとの仕事で，後者の「低レベル」な役割は末端のプログラマーの仕事ということになっている．分野を無視すれば，MBA が目指すべきモデルは前者よりもさらに上流であり，彼らはどう計算するかを悩むよりもだれに計算を任せるかを気にした方がいい．ただし計算結果の意味は分からないといけない．もちろん上流のひとは下流の仕事がすべて分かったうえで，上流にしかできない部分に集中するのが理想だ．それらを同時に実現する思考方法こそが，じつは左右両翼を持つ「公理的方法」なのである．  |
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大学は来年度の教養科目の担当者を決める時期だ．教養数学を担当する教員は，なぜか経済学部と法学部に皆無である (異常事態！) 一方，GSM には 3人もいる．教養科目をとる GSM 学生はゼロだが，できれば今後も教養教育への協力は続けていきたいものだ．その前提として，(法学部と経済学部がやっている) 夜間主の教養数学くらいは経済学部で担当すると期待したい．
上記の前提はクリアできたとして，教養数学の担当者を GSM からひとり選ぶためには，関連科目の担当も決めたほうがいい．そこで教養数学をローテーションして来た三人で意見交換した．担当自体はすぐ決まったが，議論はその他の科目，特に「経済分析」(はじめてのひとを対象にしたミクロ経済学) におよんだ．どういうレベルで教えるかである．
具体的には，同僚の工学者のひとりが予算制約下の効用最大化をラグランジュ乗数法でやりたいという．彼がやる分には異論はないが，ボク自身はそういうテクニックに類することを教えるのは気が進まない．もっと直観的に
と言えば同じことだ．二次元の商品空間のグラフで説明すれば十分だと考える．もちろん経済学の科目が充実しているならば彼のように数学的にやりたいところだが，ミクロ経済学を2単位しか教えないという現実を前にすると，もっとほかに教えるべきことがあると思ってしまう．(経済学のプログラムを充実させる手もあるが，受講者が増えるとも思えない．じっさい過去二年の経済分析の受講者はほんの数名だった．)
こういった見解の相違は，個人的なものに過ぎないのかもしれないが，経済学者と工学者のちがいによるところも大きいだろう．たとえば『経済セミナー増刊 ゲーム理論プラス』(2007) で横尾真らは，経済学者 (ゲーム理論家だっけ？)と情報科学者のカルチャーのちがいを指摘している．経済理論家はナッシュ均衡の存在に関心をもち，情報科学研究者はナッシュ均衡の効率的な計算方法に関心を持つといったちがいだ．
経済学者と工学者のこのカルチャーのちがいはどこから来るのか．鍵になるのは以下の真実だ． つづく |
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「囚人のジレンマ」については聞いたことがあるだろう．
「囚人のジレンマ」とは以下の表のような戦略ゲームであり，相手が戦略 C (「協力」) を選ぼうと D (「非協力」) を選ぼうと，自分としては戦略 D を選んだ方が利得が高い．よってペア (D, D) が均衡 (支配戦略均衡) になる．その均衡からひとりだけが外れたところでそのひとの利得は上がらないので，もちろんこの均衡はナッシュ均衡でもある．問題は，均衡 (D, D) からふたりがそろって外れると協力のペア (C, C) が実現し，利得ペアが (1, 1) から (4, 4) へと，両者にとって改善することだ．「この協力時の利得 (4, 4) をうまく実現する方法はあるか？」という《ジレンマ解消》の問題はゲーム理論のひとつの関心事である．
囚人のジレンマの解消法として有名なのは，無限回繰り返し (繰り返しゲーム) だろう．これは協力の繰り返しも均衡になるけど，その他「ほぼなんでも」均衡になることが知られている (フォーク定理)．また「社会契約」などと呼ばれる，「強制装置の導入」による解決法も知られている．単なる強制では説得力がないので，ある強制装置に参加するとの協定あるいは契約を個人の自由意思にもとづいて結ぶと考えるのが普通だ．たとえば「非協力な行動をとったばあいは罰金を支払います」といった約束を考えることができる．こちらは個人がその約束どおりに行動するとはかぎらないという問題がある． 最近ボクが目にした Monderer and Tennenholtz (2006) による解消法は「仲介者」(mediator) を考えたものだ．上記の囚人のジレンマに仲介者を導入したゲームを以下にしめす (戦略 M の列と行が追加されている)．読者は仲介者がどういう役割を果たしているか，その意味を考えると同時にこのゲームの均衡を求めるといい (演習問題)．
さて「演習問題」を少しは考えてくれただろうか？ 答の解説に進もう． まず (D, D) は以前と同じくナッシュ均衡になっており，(1, 1) の利得を実現する．そのほかに (M, M) もナッシュ均衡になっており，利得 (4, 4) を実現することがわかる．で，(M, M) の強みはそれが「強均衡」と呼ばれる均衡になっていることだ．これはその戦略の組合せから (ひとりとはかぎらない) 何人かのひとびとが戦略を変えたところで，彼らすべての利得が改善することはないような戦略ペアのことである．つまり，(M, M) を離れてたとえばふたりが (D, C) にうつれば利得は (4, 4) から (6, 0) と変わるが，ひとりの利得は下がっている．ほかにどこに移ろうとも，両者の利得が同時に改善することはない．一方で，もうひとつのナッシュ均衡 (D, D) からはふたりが (C, C) なり (M, M) なりにうつれば両方の利得が上がる．つまり (D, D) は強均衡ではない．「強均衡」という概念に絞り込めば，(M, M) だけが該当するわけであり，囚人のジレンマの解消になっている． (もとのゲーム自体のではなく，仲介者を導入したゲームの強均衡なので "strong mediated equilibrium"と彼らはよぶ．) 問題は上の拡張したゲームの意味だ．これは仲介者がプレーヤーたちに以下の提案をすると理解すればいい:「もし両方のプレーヤーが自分を仲介者として利用することに同意してくれれば，自分はそれぞれのプレーヤーに代わって C をプレイする．もしひとりだけが自分を仲介者として利用することに同意してくれれば，自分はそのプレーヤーに代わって D をプレイする．」すなわち戦略 M は仲介者の利用に同意することと考えれば，上のゲームが出来上がる．もちろん仲介者を利用しない自由はプレーヤーに確保されている．(ただ，他人による「代理プレイ」が効くような戦略でないとこの解決は無理だろう．) 以上紹介した Monderer and Tennenholtz (2006) による解消法と似た方法として，現在ではほとんど忘れられてしまった「メタゲーム」による解消法というのがある (たしか彼らは言及していない)．ゲーム理論の専門家でも若い世代は知らないかもしれない．したがって自分もほとんど知らないわけであるが，これはたしか自分の戦略を相手の戦略に依存させ，たとえば「キミが協力するならボクも協力，キミが非協力ならボクも非協力」といった戦略を考えたと思う．ここで問題になるのは，もとの囚人のジレンマが互いに相手の戦略を見ずに自分の戦略を決めるという，「同時決定」のゲームであったことだ．「メタゲーム」の類いの戦略の依存性を持ち出すとどうしても暗黙的に「時間」の要素が入ってきて「同時決定」から離れることになるんではないか．ゲームを拡張しているわけなので時間が入ること自体はまちがいではない (繰り返しゲームでも時間が入るし) が， できれば同時決定の設定は変えずにジレンマを解消したいものだ． (←若輩ゆえこの段落はまともな知識や資料なしで議論しているのであまり信用しないほうがいい．)
さいわい Monderer and Tennenholtz (2006) の解消法は同時決定ゲームから外れるものではないと思う．仲介者は提供するサービスをそれぞれのプレーヤーが利用してくれたかどうかを知ったうえで行動することから時間は暗黙的には入っているといえるかもしれない．しかしふたりのプレーヤーに注目すれば，べつに相手が仲介サービスを利用しているかどうかを確認した上でこちらの戦略を決めているわけではないため，同時決定のゲームと考えてよいだろう．また，「仲介者」といっても「仲裁」とか「調停」のような積極的なことをするわけではない．まったく受動的に行動するだけの「媒介」にすぎないコンピュータープログラムだったりするわけだから，「仲介者」をプレーヤーから外すことも正当化できるだろう． 以上のように考えると「新しい」解消法と言えると思うんだが，なんかなじみがあるような気がして仕方ない． 参考文献. Dov Monderer and Moshe Tennenholtz. Strong mediated equilibrium. In Proceedings of AAAI 6, 2006.  |
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4月以来中断していたペーパーに着手した．結果はほとんど出揃っている．予備的結果とフレームワークを (自分たちの) 関連ペーパーからコピー．いま書いているペーパに必要のない定義や結果を削除．「楽勝」といいたいところだが，この作業がけっこう神経を使う．使わない用語の定義でも関係あるものなら残しておいてもいいんじゃないかととときどき思う．でもやっぱりカットする．その一方で，定義すれば半ページくらい必要なのにリマークのなかでしか出てこない用語もあった．これは定義はやめて文献参照にしておこう．あと，このペーパーであつかう問題の意義をちゃんと説明するには，選好を導入したりしてフレームワークを記述するのに1ページくらいかかる．でも，べつのペーパーには詳しく載っていることだ．まだ迷いはあるものの，背景は背景として (定式化せずに) インフォーマルな形で説明することにした． このペーパーの予備的結果というのは他のペーパーの主要結果ということになるが，そのなかからこちらのペーパーで使う結果だけをうまく抽出するのも神経を使う．しかももとのペーパーがまだジャーナルにアクセプトされていないことがある．そういうときは，できるだけ投稿中のペーパーへの依存を減らしておきたい．二本以上のペーパーをチェックすることをレフェリーには期待できないからだ．「投稿中ペーパーのむずかしい主要定理自体ではなく，じつは簡単に別証明できるこちらのコロラリーのみに依存している」などと説明を加えたりする．(それができないのなら，もと論文がアクセプトされるのを待つべきか．) そんなこんなで，「予備的結果とフレームワークのセクションは一応できた．あとはイントロダクションだ！」などと多少区切りがついたときにかぎって，ジャーナルの目次アラートがどっさり届いたりする．この日は Social Choice and Welfare, Public Choice, Economic Theory, Games and Economic Behavior がいっぺんに届いた．区切りが悪いときならあと回しにもしたが，区切りがいいとジャーナルをチェックすることになる．タイトルとアブストラクトを見て，SCW 6 本，PC 3 本，ET 2 本，GEB 5 本の論文をダウンロード．計 16 本だ．大部分は将来見ることもないだろう．しかしいつ大学が電子ジャーナルの購読をやめるか分からない．また，ボクがいつ大学をクビになるかも分からない．だから将来関心をもつ可能性がありそうな論文はとりあえずダウンロードする．今後の作業はダウンロードした論文を眺めて，ばあいによってはイントロあるいはフレームワークくらいは目を通し，同じフォルダのソーターにドラッグして著者名のアルファベットごとのフォルダに移動することだ (ダウンロードして保存するときのファイル名を dietrich-l07scw29.pdf のように著者名ではじめているので，移動・分類は自動でできる)．ばあいによってはファイルのエイリアスを ranking とか rights and liberty とか organization といったトピックごとのフォルダに投げ込む．その作業はいま書いているペーパーの Introduction を書く前になるかどうかは知らない．
合間に JME からついにきた正式アクセプタンスメールを共著者に回送したり．(だけど少々味気ない．メールがエディタの個人名じゃなくて Editorial Office とあるのが原因か．あるいは実質アクセプトだった前回が Subject: Your submission before acceptance で，正式アクセプトの今回が Subject: Your Submission と後退しているためか．) ハーバード・ロースクール教授からとどいた丁寧なメールにお返事を書きながら，中学高校時代を思い出したり．(自由を求める傾向はあのころと変わっていないなあ．) こいびと「のような」存在と連絡をとったり． しかし Introduction をどうする？ 今回は「続編」なので関連研究をながながと挙げたりはしない．だが絞りに絞ると残るのはほとんど自分たちの研究ばかり (プラス関連分野の基本用語が載っているテキストとか Handbook の章ばかり) になってしまうんだが．ううむ，ボクらが切り開いた (マイナーな分野というか) トピックだから仕方ないといえば仕方ないが．それでいいんだろうか． |
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前回記事「ゴールデンウィーク雑記: パソコン編」では，階層的組織とかツリーとか家系図の作成などの話が出て来た．これらはグラフ理論でいう「グラフ」あるいはその拡張として表現できるだろう．グラフとその簡単な拡張は「ネットワーク」とよばれることもある．理由を自覚していなかったが，さいきんボクはネットワークに関心があるようだ．そこで，ボクが最近ネットワークに興味がある理由を少し列挙しておこう．列挙することに意味があるのか？ それによって素晴らしい発想が出て来るのかどうかは自分では分からない．しかし読者によってはここから革新的な研究を生みだしてくれるかもしれない (笑)．
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