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怒りに取り憑かれていた．なにかを書くことは沈静化に少しは役立つ．しかしゴールデンウイークはまともな研究はできなかった． けれど Revise before review になっている論文をどう改訂するかという方針はできた．少し安心．締め切りをちゃんと調べてみた．メールには書いてなかったけど，投稿システムには 6 月はじめとあった．そういうことなんだろう． 仕事が進まないので，アルゴリズムの解説書なんかを読んだ．ハノイの塔の問題を解く Ruby プログラムを動かしてみた．たった10行ちょっとだけど，ちゃんと動いた．
再帰，すごいじゃないか！ しかしこんなことで感動してよいのか？ 素人のボクは感動してよいだろう．だってプロの浅野哲夫が『アルゴリズム・サイエンス：入口からの超入門』(2006) の「再帰の威力」で以下のように独白しているから (148ページ):
Mac OS X Leopard の最新機能は意外と便利．
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「平成香川大学教員総合評価の問題点」で問題点を指摘した教員評価の書類を今年は提出してみることにした．
じつは去年はたしかにやる気はあまりなかったが，データ入力法などを書いた紙を10時間くらいは熟読したのだ．しかし分からないことだらけだったので，質問をメールして，十分な答が得られないまま時間切れになったという経緯がある． 今年は 4月30日の締め切りに向けて，4月16日以来，全学の担当部署や学部の事務や研究科長などに手順を尋ねていた．事務は「先生がたの総合評価につきましては、事務はまったくタッチできず、詳しい説明ができませんこと、申し訳ございません」などと答えていた．そんなわけないだろう．ちゃんと部下を動かせよ．こちらが知りたいのは，おおまかな手順なのだ．大学の準備する文書によくあることだが，マニュアルに詳細は載っていても全体像が載ってないのだ！ 「店に来てくれ」と言ってカタログを示しつつも，店の場所を教えようとしないような姿勢だ．(自ら調べたくなるような人気店とはちがうのは，説明するまでもないだろう．) 基本的な情報が抜けているのだ．それで客に来てもらおうと考えるのは甘い． その後，事務の末端のひとが自発的に動いてくれて，先週金曜日にやっと全体像がつかめた．「大学内のネットワークにつながったパソコンにアクセス→入力システムにこの url で入る→入力結果をこうやって MS ワードファイルに出力→ワードでファイルを印刷→このひとに提出」ということだ．言われるまでは，手書きで提出するのかとか，エクセルファイル用意してシステムに読み込ませればいいのかとか，まったくの見当違いをしていた． この週末，データを入力してみた．去年の「試行」の経験を生かして，大学側は今回はシステムを改善しているはずだと思った．スムーズにデータ入力くらいはできるはずだと．しかし現実は甘くなかった．たしかに入力はできた．しかしシステムの不具合だらけで，帳票出力がうまくできなかったのだ！ 教育活動評価の様式2というやつの科目欄が出なかったり，同様式4というのが出なかったり，研究活動実績書 (様式5) が重要な情報を落としたりした．(大学院科目を学部科目として申告するといった，システム不具合に対応するための裏技もダメだった．) 事務処理の苦手なボクは入力前に9時間，入力をはじめて13時間費やした．それなのに，まだ一部の様式は出力できていない． じつはジャーナルに投稿中の論文の revise before review の締め切りが今週なのだ．(それにしても "revise before review" という言い方ははじめてのような気がする．いつもはもう少しポジティブな言い回しだと思う．Accept with revision とか，Revise and resubmit とか．あれだけ詳しいレフェリーリポートがあったのに，まだリビューしたことになってないの？？) もともとフルタイムで改訂して 2 週間はかかりそうなところ，4週間しかくれてないのだ．"We are looking forward to receiving your revised manuscript within 4 weeks time." という弱い言い方なので多少は延長できるとしても，まだ着手できてない．下手すると間に合わないかもしれない．教育や研究を促すための教員評価であるはずなのに，これじゃ本末転倒だ．いい加減にしてくれという感じだ． 追記 (5/2/08) 問い合わせてみたところ，うまく出力するための方法は以下のような感じだった: (i) 各科目のラベルを事実とは異なるものに変更する．「大学院」というラベルを「学部」に，かつ「その他」というラベルを「専門教育科目」に (その後システムが更新されて一部の不具合は解消した)．妙なことだ．(ii) 著者や研究発表など研究業績のおのおのについて，「個人調書出力選択」をチェックする．今回のは「個人調書」とはちがうのに！ 「やり方は分かったが，もう締め切りには間に合わない．これってこちらの責任か？ 異議申し立ての準備でもしたほうがいいかな」と半ばあきらめかけた締め切り当日の午後，締め切りが5月7日に延期されたと連絡あり．どうせ担当者なり研究科長自身が間に合わなかったとかだろう．それにしても，もっと早く言えないのか？ 残った作業は5月1日にやった．各科目のラベルを「大学院」から「学部」に，あるいは「その他」から「専門教育科目」に変更するとき，全科目一括で変更できないのは辛かった．
の操作に時間がかかるし，最後を忘れやすい．一括変更できないのは，科目に限らず研究業績でも同様だった．ひとつひとつの業績ごとに変更していかなければならないのだ．コンピュータを相手にしているのに出来る操作は紙の文書と変わらない．かえって手間がかかるようになっている． けっきょく，追加の入出力作業に2時間，そのために必要だったメール作成や解読に3時間，合計27時間かけて書類を出力することはできた．ブログに関係記事を載せる時間を入れるとさらに4時間は追加の合計31時間になる．標準的な労働時間でいけば4日分に相当する．それで効果はほとんどないのがこの評価システム．なんたる浪費！ (店の場所を教えようとしない姿勢の比喩を追加．)  |
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渡辺隆裕『ゼミナール ゲーム理論入門』(2008) が出た．(献本 Thanks, 渡辺さん！) あの，『図解雑学 ゲーム理論』の著者による標準的な入門テキストである．なんてたって日本経済新聞出版社の「ゼミナール」シリーズの一冊だ．「米国大学学部テキスト」にかなり近い，図表や文字の多い分厚い本になってる．(個人的には米国にも武藤本や図解雑学のようなコンパクトなテキストがあっていいじゃないかと，逆に「文化輸出」してもらいたい気はあるけど．) 「まえがき」で印象に残った言葉 (声に出して10回は繰り返そう！):
特に最後の文は，ボクが社会選択理論の博士論文を書いていたころを思い出させる．ポパーとかクーンとかファイヤアーベントを引き合いに出したりしてだんだんと「哲学的」(社会学的?) でデリケートな (壊れやすい) 議論に入り込んでいったボクに，教授 MK Richter がストップをかけた:
もともとファイヤアーベントなんかの反哲学的なところに魅かれていたボクは，すんなりと教授の進言を受け入れた．「たしかにそうだな．学問を神秘化することって，まさにボクの破壊したいところじゃん．神秘化しちゃだめだ．ついでに日本の社会学者も反省した方がいいかも」って感じで． このエピソードを転機として，ボクは "iconoclast" (聖像破壊者) を理想として学問に向かうようになった．平凡助教授のブログにもその傾向が現れているかもしれない．  |
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2006年の3月に卒業した阿知乃からメールだ．「どうですか？」って，ボクにはおっぱい見せないんじゃないか？ べつに妊婦 (生まれたあとはそうは呼ばないか?) のおっぱいには興味ないからいいけど．だいたい赤ちゃんって大嫌いなんだよ．うるさいし，糞尿だらけだし，言葉も分からんバカだし，おまけにひとのモノはすぐ壊す．なにもいいところがない．ネコなんかとちがって，生き物として見ても気持ち悪い．部屋の中にとつぜん転がりこんで来た日には，もし人間だと気づかなかったら，こん棒かなにかで袋だたきにされてゴミ袋に突っ込まれていたはずの得体の知れない生物だ．ホント，なにもいいことがない！ ガキができたばかりの親に向かって「おめでとう」とか平気で抜かすようなひとを見るたびに，デリカシーないなと思ってしまう．まあ，(意図的に子供を作ったということなら) 長期的にはたしかに悪いニュースではないんだろう．でも，そんな先のことをふつう喜ぶか？「中期的には御愁傷様」とホントのことを言えとは言わんが，せめて「それは (あなたにとって) うれしいニュースですか？」と確認しろと言いたい． ひとみちゃんはボクのもとゼミ生 (演習受講者) だ．1年生のときと4年生のときにはボクの教えたべつの科目もとったお得意様だ．去年の秋にも，子供できたら見せに来るとかメールで言ってたな．そんなことを言うのは，すごい長期的視野か奇妙な選好を持つということだろう．下手に会って「[中期的には] 御愁傷様」とか言って嫌われてもいやだしなあ〜．なかなか気がすすまないボクであったが，単純に「2年前かわいかった子がいまはどんなデブになっただろう?」という好奇心で病室を尋ねてみた． ひとみ: ええっ？！ なんで来たんですか，先生？ 勝手に来てもらっても困りますよ． 平凡助教授: いや，阿知乃が来いってメールしてきたから．おっぱい見れるからって． ひとみ: 阿知乃しょうがない．ホントにメールしたんだ． [省略] ひとみ: で，陣痛促進剤を点滴してもらっても効果がなくて，陣痛が始まって42時間も経ってたし，あきらめて緊急帝王切開にしたんです． 平凡: なあんだ痛いの一生懸命我慢したのが無駄だったわけじゃん．はじめからカイザー (帝王切開) にしときゃよかったのに．あはは． ひとみ: ……． 平凡: まあ，やってみないと分からないことはあるからなあ．一生懸命やってダメだったらこそあきらめもつく． ひとみ: 私も無駄になったみたいに感じて悲しかったです．でも，分娩室に行けるような状態になかなかならなかったってことは，自然分娩を続けたら危険だったということだから．仕方なかったです． 平凡: なんか残念そうだね．しかし，なんで自然分娩とやらにこだわるのかボクにはよく分からん．子供が生まれるというのが目標アウトカムだろ． ひとみ: わたしが「痛いよ」「お腹が割れる」「早く切って」と一日くらい言い続けても，あくまで自然分娩にこだわってがんばっている助産師たちとお医者さんを見て感じたんですよ．やっぱり自然分娩じゃないとダメなのかなと． 平凡: 感化されたわけね，カイザーは失敗であり負け犬だって．人生の出発点から敗北者になってしまったわけじゃん． ひとみ: ひどい！ 私の産んだ子は敗北者じゃありません．最後まで諦めないで，苦しいのを耐え抜いて，激闘を勝ちぬいて生まれてきた子どもなんです． 平凡: いや，負けは負けと認めるべきだよ．いろんなひとに助けられたわけだし．情けないってことになる．だいたいひとみちゃんは産んでないじゃん．取り出してもらっただけでしょう．えらそうに言うなよ． ひとみ: ……． 平凡: いや，ごめん．「敗北者」とか「取り出しただけ」ってのは，ひとみちゃんを感化したひとたちから見ればそうなのかと思って．ボク自身は自然分娩でも帝王切開でもどうでもいいんだ．しかし，彼らも純粋に医学的理由で言ってるとも限らないだろ． ひとみ: もういいです．帰ってください．二度と来ないでください．いろんなひとに助けられたのは情けなくありません． 平凡: わかったから最後にひとつ言わせて．助産婦も医師も「カイザーを選べば自分たちが負け」ってことはあるかもしれん．でも，カイザーで取り出された子供自体が負けだとは思ってないよ，きっと．助産婦は手術になると自分の出るまくがないわけだし．(いや，看護婦の資格もあるからわからないけど……．) 医師はどうなんだろう．帝王切開手術になると保険が利いて儲からんとかあるのかなあ．(ま，勤務医なら関係ないんだろうけど……．) いや，いろいろ言ってわるかった．もう来ないから．さよなら． ボクはドアを閉めて病室を出て行った． あ〜あ，また数少ない味方をひとり失ってしまった．やっぱり身に染み付いた赤ん坊嫌いは簡単には治らないようだ． ディスカッションのための設問例設問 1医療ティームがはじめから帝王切開を選ばなかったことの合理性について検討せよ． 帝王切開をするかどうかの決定問題をデシジョン・ツリー (展開形ゲーム) で描け． プレーヤは母親 (医療ティームと同一視) と「自然」とする． 第二段階で「難航しそう」「うまくいきそう」といった情報を「自然」がもたらす前の第一段階では，母親にとって自然分娩を 目指すのが合理的になるように利得を決めよ．(利得を決めるのに正確なデータは不要．あくまでありそうな数字をしめせばいい．) 母親は「自然」のもたらす情報をうけとったあとで， ふたたび帝王切開を受け入れるかどうかを決める機会を持つとする． 設問 2「子供が生まれるというのが目標アウトカムだろ」という発言から， 平凡助教授は当初帰結主義的に事態を評価しようとしていたと考えられる． 平凡助教授の評価の基準となる選好はどのような選択肢にかんして定義されているか． 医療ティームが自然分娩というプロセスにこだわっていたとすれば，非帰結主義的に事態を評価していたと考えられる． 医療ティームの評価の基準となる (拡張された) 選好はどのような選択肢にかんして定義されているか． (Suzumura (1999) の議論が参考になるかもしれない．) 設問 3「帝王切開で取り出された新生児は負け」という考えを批判的に検討せよ． たとえば医療ティームと胎児と「自然」をプレーヤーとする以下のような簡単な展開形ゲームフォームを考える．
「生まれる」が実現したとき，胎児は「勝ち」と言えるだろう． ところが医療ティームあるいは「自然」の戦略によっては胎児は「生まれる」を実現できない． これを "β-effectivity" の概念をもちいて言い換えよ． (Kumabe and Mihara (2008, Remark 4) の effectivty にかんする議論も参考になるかもしれない．) このようなゲームで胎児に「勝ち負け」の概念を適用することの是非について検討せよ． たとえばコインの裏表当て (matching pennies) や必勝戦略を持つボードゲームと比較せよ． あるいは次の見解と比較せよ:
参考文献Masahiro Kumabe and H. Reiju Mihara. The Nakamura numbers for computable simple games. Social Choice and Welfare, 2008. DOI 10.1007/s00355-008-0300-5. Kotaro Suzumura. Consequences, opportunities, and procedures. Social Choice and Welfare, Vol. 16, pp. 17--40, 1999. (寄稿; 教員の研究活動評価対策のためのケース教材らしい; ケース教材の作製法を助言してくれた女性がたまたま出産前後で，安易な例を挙げてくれたそうだ; それにしても年度末ぎりぎりですね) |
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いや，それは言い過ぎだった．経営学は学問じゃないから．あはは． ま，ジョーダンはこのくらいにしておこう．価値のないのは経営学じゃなくて経営「学者」だもんな．で，ミクロ経済学が「価値」を中心概念とするのはまちがいない．なんせ「価値の理論」と呼ばれるのだから． 経済学と経営学のちがいはなにか？ 研究対象のちがいという基準と方法論のちがいという基準との二次元で分けたり (by 伊藤秀史)，均衡論かそうでないかという方法論のちがいで分けたあと，新制度派経済学がどちらであるか分類しようとしてやっぱり混乱したり (by 菊沢研宗)．(「パレート均衡」ってのは「パレート最適である競争均衡」といった意味だろうけど，ちょっと略しすぎかも．) まあ，他人はいろいろと試みているようだ． 自分にとって正直，ある研究が経済学であるか経営学であるかはどうでもいいことだ．社会選択理論が経済学であるか政治学であるか倫理学であるか情報科学であるかなんて，どうでもいいじゃないか---というのと同様だ． しかし自分の参加する組織 (GSM) が，学問のマナーを知らない野蛮人に支配され，彼らの論理で数々の組織的隠蔽行為が正当化されるとき，そして彼らの論理で自分が狂った評価を受けなければならなくなったとき，
と思う． ということで区別を試みてみた．要するに，経営学者は目が悪いのだ．視野が狭いんだろうな．ボクらに見えるものが彼らには見えないらしい．
この記事に手を入れてるあいだに，早くも↓拍手が届いた．Thanks! 追記 (2/25/2008) 「見えざる手」が見えないひとたちは，「マクロ経済学だって個々の企業が見えてないし，ミクロ経済学だって企業内部が見えてないじゃないか」と反論するかも．(古い) マクロ経済学にとっては，たしかに個々の企業は見えないと言えるかもなあ．でも，ありゃあ経済学じゃないから，はっはっは．ミクロ経済学についてはちがってるぞ．企業の内部が「見えない」わけじゃなくて，「見ない」だけだから．で，経営学者は「見ようと思えば「見えざる手」を見ることはできるけど，必要がないから見ないだけだよ」って言えるのかな？  |
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追加キーワード: グラフ理論，ネットワーク最適化，展開形ゲーム，ゲームツリー，可視化，ヴィジュアル，グラフィックス． 前回記事にある「油分け問題」に続き，今回は最短路問題を解くダイクストラ法 (Dijkstra 法) の Ruby プログラミングを担当科目の課題にした．こちらはアルゴリズム自体はその疑似コードとともに授業で学んだので，あとは Ruby で表現する問題だ (受講生によればそこがむずかしい)．たとえば Wikipedia にある疑似コードを下敷きにしていいと受講生には伝えた． 自分でもプログラムを書いてみた．路線探索プログラムの本質的な部分が初心者にも書けたということであり，なかなか素晴らしい．(ちなみに路線探索では2番目以降に表示する経路をどうするかがむずかしいらしい．←こちらのサイトにはダイクストラ法の図解もある．) だが，なにかもの足りない．いや，将来「もの足りない」と言う学生が出てきそうな気がする．そう，なにもかも文字として処理されるのだ！ つまり重み付き枝たち (たとえば距離あるいは重み 10 の枝 (s, 1) を [:s,1,10] と書く) を要素とする配列と出発点 (たとえば :s と書く) を持つインスタンス problem を作れば，あとは problem.shortest_path_to(v) とやることで任意の点 v への最短路とその距離が配列として返って来る．図がどこにも現れないのである． そういう学生には，「心配はいらない．こういうグラフをテキストデータから描いてくれるプログラムは存在するはずだ」と答えるつもりだった．グラフというのは点と点のむすびつきの情報だけで決まるものであり，画像としての表現はその本質ではないからだ．把握のしやすさや見栄えを別にすれば，データを画像としてではなくテキストデータとして保持するのが本質的なやり方と言える．たぶん Mathematica あたりもそんな描画機能を備えているだろう．そんなところにたまたま飛び込んで来たのが，こちらの解説記事「ITpro【特選フリーソフト】テキストをグラフに変換 Graphviz」だ．ふむふむ，Graphviz ってのがあるんだね．ということで，Mac OS X edition of Graphviz を試してみた． 読者は「平面グラフ (点の位置をうまく選べば，辺が交差しないように平面上に描けるグラフ) をじっさいに辺が交差しないように描いてくれるんだろうか？」などの興味を持つかもしれない．平面グラフかどうかは理論的にはクラトウスキーの定理で判定できるが，このソフトがその判定機能を備えているかどうかは知らない．デモンストレーションを一見したところ，交差する枝が少ない気はするので，それに近い機能を利用しているんじゃないかとは思うが． 個人的には，これが家系図に使えるかどうかに関心がある．(ちょっと試したところ，残念ながら日本語が文字化けしたけど．) じっさい，同じ疑問をもったひとはいたようで，その返答として Graphviz で家系図を描いた例はあった．ポイントは親子関係を有向枝で表し，男性のノードを長方形で女性のノードを楕円で表すことにより区別することだろう．ノードを形で区別することは (ノードにノード名と異なるラベルをつける，あるいはノード名の付け方に規則を導入するという意味で多少)《グラフ》の定義を逸脱しているが (追記参照)，こうすることで「父・母・子」の3項関係を表すことはできる．ただし，このままでは兄弟の順番は (ラベルなしでは) 表現できないし，父母と兄弟の間の枝を交差させず直線で描こうとすれば (リマーク 1)，たぶん (先祖を子孫より位置的に上に描くといった) 階層構造は崩れる．じっさい，さっきの例のコードを描画してみたところ，根っこ以外のどのノードも出次数が 1，つまり子供がひとりだけということになっていた．すなわちこの家系図はある個人の直系尊属のみを記録したものであり，兄弟や傍系の存在に起因する複雑さを回避したものだった．
というわけで，Graphviz で家系図を作るとすれば，親子間の枝が複雑に交差するのは許す一方で，階層構造の表現を優先するのがよさそうだ．ここまでできるのだから，一組の夫婦にかんする親子関係の枝をまとめる方法 (つまり完全2部グラフ K2,n のすっきりした描き方) を提供してくれてもいい気はするけどね．[追記 2 参照] 追記 1 (1/26/2008). リマーク 1 などに若干手を入れた． 「お前は「父・母・子」の3項関係にこだわり過ぎている．家系図を描く上で重要なのはだれとだれが子供の親であるかであって，そのどちらが父親でどちらが母親かということではない．あくまでも親子関係という2項関係が基本だ．数学でも，2項関係の理論を多項関係のそれに拡張して本質的なちがいがあったか？ よき振る舞いをする多項関係は，2項関係に一定の条件を加えたものにすぎないのではないか？ お前の専門とする社会選択でも，《選好》という2項関係をもとにした理論と，多数からなにかを選ぶ選択関数という多項関係をもとにした理論とで大きなちがいがあったか？」とのお告げがあった． アダムとイブの関係を基本にして「生めよ，ふえよ，地に満ちよ」と祝福した神のお告げにしては意外だが，そこは問わないことにする．なるほど，《親子関係》を基本と考えて，それぞれのノードが親をふたつ持つ (入次数が2である) ことだけ要求すれば，たしかにどちらが父でどちらが母かは系図作成上重要ではないかもしれない．親の一方に「男」と，もう一方に「女」とラベルをつけることで満足ならば，3項関係を持ち出すまでもない．このばあい，親子関係のグラフは《グラフ》の定義を逸脱してはいない． 同様のことは「2部グラフ」と呼ばれるグラフでも起こる．2部グラフとはたとえば互いにセックスをしたことのある男女に枝を引くようなグラフであり，もちろん《グラフ》の定義を逸脱していない．ホモセクシャルを考慮外にすれば，男同士あるいは女同士のあいだには枝がない．つまりそれぞれの点に「男」あるいは「女」とラベルをつけられるようなグラフだ．その際，男性である太朗に「女」のラベルをつけたならば，太朗とセックスしたことのある花子には「男」のラベルをつけることになる．グラフへの追加的な構造として「男集合」「女集合」といたラベルのついた集合を導入しないかぎり，性別の逆転はありうる． 追記 2 (2/7/2008). 「Graphviz で家系図を作るとすれば，親子間の枝が複雑に交差するのは許す一方で」と書いたが，もちろん下図のように婚姻関係などを表す点をダミーとして入れれば枝の交差はなくせる．人間を表さない点が導入されるとか，入力ファイルの可読性が下がる (上がる?) といった問題を除けば，現実的な描き方かもしれない．
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年明けには Ruby プログラミングをやった．去年の夏に「プログラミング教育用なんかにもいいかも」と書いたことのある ruby だけど，いま教えているオペレーションズ・リサーチの授業でじっさい ruby プログラミングをやることにした．プログラミングの経験がないという受講生が「プログラミングをやってみるいい機会」と意欲を見せたため，「じゃあ，すぐにマスターできる言語で行こう」と，急遽予定に組み入れた． といってもボクもほとんど知らない言語だ (というか，プログラミング自体の経験も浅い) ．まずはこちらの文献集にあった，まつもとの「rubyユーザガイド」 (ちょっと古い; また，初心者である自分にはあまり分かりやすくなかった) と Chris Pine の「プログラミング入門: Rubyを使って」(大部分は初心者でも読めるだろうけど，9章の後半と10章はむずかしそう) をざっと読んだ．プログラミングをはじめてからは，その文献集の「入門編」の「サイト」にある情報や，「オブジェクト指向スクリプト言語 Ruby リファレンスマニュアル」その他を参照した． プログラミングに出した課題はこんなタイプの問題だ: 「カップ 0, 1, 2 はそれぞれ 10, 7, 3 の容量を持つ．最初は容量10のカップに水が満杯の状態 [10, 0, 0] である．カップ i から j への水の移し替えを繰り返して，目標である [5, 5, 0]を実現したい．」この例にかんするかぎりは，9段階の移し替えで目標が達成できることが，すべての場合を網羅的に調べることで手作業で確認できる． (上述の科目で少し学ぶ) グラフ理論を知っていれば，この種の問題をプログラムで扱えるように表現するのは簡単だろう．アルゴリズムを考えることもたやすい． それでもはじめての言語というのはいろいろと戸惑うものだ．ありがちなミスのパタンは，マニュアルと悪戦苦闘したり試行錯誤を繰り返すうちにだいたい分かって来た．で，できあがった最初のプログラムは，9段階の移し替えを実行するだけで 5 時間もかかり，10 段階以上は結果を出せなかった．そんなバカな！ 「オブジェクト指向でプログラムを書いたのが悪かったんだろうか？」「再帰で関数を定義したのが悪かったんだろうか？」などと疑った．Mac OS X にはじめからインストールしてあった ruby がたまたま当たりが悪いバージョンなのかもしれないと思って，最新安定版 1.8.6 に入れ替えたり，クリスマスにリリースされたばかりの「高速」不安定版 1.9.0 を (一年近く触れていなかった) Windows PC にインストールしたりもした．だがそれらの対処法はいずれも見当違いだった．
では，なにがプログラムをそんなに遅くしていたのか？ どうやら関数の相互参照であるようだ．たとえば history(t) という関数を定義するのに history(t-1) と obtained(t-1) を参照する一方で，obtained(t-1) を定義するのに obtained(t-2) と history(t-1) を参照するようになっていた．数学的には問題はなさそうだが，おそらくプログラム的には問題になるんだろうな．history(t) の定義のなかに使われていた関数 obtained(t-1) を単なるローカル変数に置き換えた．するとそれまで5時間かかってもできなかった計算が，1秒程度でできるようになった！ やれやれ．
それにしても「おまじない」の類いをほとんど記述せずにプログラムが書けるのは気持ちいい．できたプログラムは普通に書くアルゴリズムよりもむしろ簡単かも．たとえば (?) 上記の水移し問題 (油移し問題) のインスタンスである abura にたいする結果を表示する---より具体的にはその履歴 history(t) を t = 0 から t = 12 まで表示する---には，以下のように書けばいい:
追記 (1/10/2008). あまりにも単純すぎてポイントが伝わらなかった例を差し替えた．以下は修正前の記述．「プログラムでは x = x + 1 と書いて，右辺の値の左辺の変数への代入を表すけど，数学ではふつうそうはやらない．わざわざ添字をつけて xt = xt-1 + 1 とするか，関数にして x(t) = x(t-1) + 1 とやりたくなるわけだ．(この例は簡単すぎるので説得力ないけど，もっとむずかしくなると添字をつけて何段階目の更新かというのをはっきりさせた方が分かりやすくなる例は少なくないはずだ．)」  |
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年末が遠い過去に思える． 年末はなにをしたっけ．ニトリで L 型デスクを買って部屋に入れた．ネットショッピングで買ったレース調遮音カーテンと書棚4つを部屋に導入し，古い机と書棚は「物置」に移動した．部屋は書斎ぽくなった．でも箱詰めして押し入れに入れてあった本 (といっても箱はふたがしてないものが大部分だったので，すぐ見れるようにはなっていた) を書棚に移したらすぐいっぱいになった．本というのは場所を取るものだ． その前は竹内外史『集合とはなにか』と篠田らの『集合・位相演習』(サイエンス社)の集合論の後半 (6-10章) をざっと読んで，今年書く予定のペーパーに必要な知識というか直観を仕入れた．「直観を仕入れる」って言い方はヘンってのはおいとこう．無限上昇列があるからといって無限下降列がとれるわけでないことは，たとえば自然数の全体 ω を考えれば分かるだろう．一般読者としては，「一般の順序集合で，ある要素の前に無限上昇列があるからといって，その要素から始まる無限下降列が存在するとはいえない」ことを知っておけば十分だろう．たとえば，どんな (たとえ非可算でも) 《順序数》をとっても，無限下降列は作れない．順序数ってのは自然数の概念を拡張した集合で，たとえば ω・2 = ω + ω = {0, 1, 2, 3, ..., ω, ω +1, ω+2, ω+3, ...} のように ω のコピーをふたつ用意して，最初のコピーの次に2番目のコピーを並べたものは順序数だ (2 のコピーをω回ならべた 2・ωとはべつ)．ω +1 以前に無限個要素があるけど，ω +1 から始まる無限下降列は作れない．ほかにも ω・ω = ω2 のように ω, ω・2, ω・3, ω・4, ... のリミットに来る順序数もある．ω3, ω4, ... のリミットである ωω もある (ノーテーションは同じだけど，ωω は ω から ω への関数の集合とはべつもの)．ωωω もある．これらの操作によって，バカでかい無限の「数」が作れると思うかもしれないが，それらはせいぜい加算個の要素しか持たない「小さな」順序数だ．だからより大きな順序数を作る操作も必要で，たとえば実数の濃度に対応する最初の順序数というのを考えることができる．順序数はいくらでも大きくできるが，その部分列で減少するものを作れば必ず有限個で終わるのだ． 休み前には今年教える可能性の高い MBA プログラム向けの「経済分析」にむけて，伊藤元重の『ビジネスエコノミクス』 なんかも読んでみた．すぐ読めてすぐ忘れるたぐいのものだけど，副読本には悪くないかも．流通業界の話とかするには抽象的プレーヤーを持ち出すよりも，イオンとかセブンイレブンとかプレーヤーが具体的なほうが一般人には受けるんだろうな． つづく |
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無限についてのイメージを豊かにするために，集合論の新書 (竹内外史. 新装版 集合とはなにか. 講談社, 2002) を読んでいる．ブルーバックスながらなかなか読みごたえがある．こういう本を読めるのはちょっとしたぜいたくか．第1章「立場の変換---翻訳語としての集合」，第2章「天地創造---楽園追放」，第3章「公理的集合論---現代数学の基盤」と読んできて，いま第4章「現代集合論---華麗なる展開」の途中．第5章「未来への招待---私の立場から」まで終えることができるだろうか．「公理的集合論」とは，大雑把にいえば，ラッセルの集合 (自分自身を要素に持たない集合の集合) など極端に大きな集合を考えることによっておこる集合論の矛盾を回避するために発展して来た分野だ． いろいろな無限たちがあれば，その一方には有限もある．そちらをあつかうのは「離散数学」だ．さいきん購入した本のなかに石村園子の『やさしく学べる離散数学』(共立出版, 2007) があった．さすがこの著者だけあってなかなか分かりやすい．(欠点はこの著者の他の著書同様，なぜそれを学ぶのかという動機付けがないことだ．) 学部レベルの離散数学の本としてはもっとも簡単といえるだろう．高度な内容を避けている感じはあるが，それでもこれだけやればたとえば古典的な社会選択を勉強するための準備としてはじゅうぶんだろう．内容は集合と論理，関係と写像，代数系 (半群，群，巡回群，対象群，環，体)，順序集合と束 (ブール代数も)，グラフ (有限オートマトンも) といったところだ．こういう「現代的な」「情報数学的な」トピックスは経済学部あたりではなかな学べない．それらを知るぜいたくを典型的な学部生が独習可能なレベルに持って来た本と言えるかもしれない．ボク個人は，反射律・反対称律・推移律のグラフ表現，ハッセ図を使った最大限・極大元・上界・上限の表現なんかが気に入った．なお，24頁の「命題 p→q」の説明はまずい． もひとつささやかなぜいたくを挙げよう．フロインドリーブのシトーレン 1 キログラムだ．(写真はクリックで拡大する．)
やっぱりおいしかった．通販で買ったので 5040 円したけど，おいしかったので許す．前回の記事に書いた浄財を払うよりは，同じお金で 22 個買ったほうがよかったかもなあ．いや，まとめ買いは送料が節約できるのでもっと買える……．シトーレンについては，ボクがいろいろ書くかわりに，三原麗珠の公平理論のページにあった 2004 年の記述を引用しておくことにする．その後高松のシトーレンが改善したかどうかは知らない．
追記 (12/13/2007) その後 Pierre Herme (東京)，全日空ホテルクレメント高松，ロリエ二見のシトーレンを入手した．どれもフロインドリーブには負けている．ただ，数日前食べたときよりも今朝は味がよくなっていた．少しづつ熟成して味が良くなったという感じではなく，急激に変わった気がする．雨が降っていて，適度な湿り気 (?) になったせいかもしれない． |
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さて前回は「平凡助教授」を自称するリアルな人物 (?) HRM に寄稿してもらった．もちろん「平凡助教授」は複数の人物をモデルにしているため，リアルな人物と一致するわけはない．惑わされた読者はいなかっただろうか． 先週末は出身大学から寄付しろと言って来た．(年に何回も言って来る，ボクが学部を卒業した国内私立大学ではない．そちらは同窓会の永久会費を除けば，過去十年に3万円も寄付してないかも．こちらも国内大学勤務だし，マーケットが競合するからねえ．) ボクも教わった教授がノーベル章を受賞したからだ．米国にある本国司令塔は，日本で人脈のいちばん太い出身者を指名して，「あなた，浄財集めのお手伝いしたいでしょう？」「スペインじゃ最初言って来た三人だけでも 550 万円出すそうよ！」とやったようだ．のちに本国からも依頼が届いたわけだが，最初の依頼は同窓生国内ネットワークの最高次数ノードにあたる人物からだった． その人物からの依頼は，メールとはいえこちらを「先生」と呼ぶなど普通ではありえない書き出しだったので，「やはり来たか」と身構えて覚悟を決めた．15,000 円くらい払えと言われるのかなあ，まあ仕方ないかなあ……と思いつつ読むと，11万円あるいは 1000 ドルを一口でよろしくとその人物はいう．ケチなボクはたまげたのだけど，本国からの指令によればなんでも学生のためのフェローシップを充実させるという． 本国の掲げる目標を達成するには一口はもっと小額でいいんじゃとかいろいろ考え始めると迷うので，すぐさま 1,000 ドル分のチェックを切って封筒にいれ，「じゃあ送りますから，よろしく」とメールで即答した．当日中に「最初のリスポンスです」と確認が届いたが，最初だからといってプレゼントをもらえるわけではなかろう．
ところで「いろいろ考え始めると迷う」と書いたのは，たとえば，フェローシップが充実してあんまり博士課程の人数が増えても，かならずしも教育の質は上がらないんじゃとか，その他個人的な事情 (自分は数学科で教えて稼いでたこととか) があるからだ． まあ，あんまり書くと「平凡助教授が 1,000 ドルなら，最悪でも 1,050 ドルくらいは寄付しないと格好がつかないな！ よし自分は 3,000 ドルだ！」とか思った同窓生の気をくじいてしまうかもしれない．だからこのくらいで止めておきましょう．  |
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